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Theorem pjthlem1 25359
Description: Lemma for pjth 25361. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
pjthlem.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjthlem.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
pjthlem.p + = (+g𝑊)
pjthlem.m = (-g𝑊)
pjthlem.h , = (·𝑖𝑊)
pjthlem.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pjthlem.1 (𝜑𝑊 ∈ ℂHil)
pjthlem.2 (𝜑𝑈𝐿)
pjthlem.4 (𝜑𝐴𝑉)
pjthlem.5 (𝜑𝐵𝑈)
pjthlem.7 (𝜑 → ∀𝑥𝑈 (𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
pjthlem.8 𝑇 = ((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))
Assertion
Ref Expression
pjthlem1 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑇   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   + (𝑥)   , (𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem pjthlem1
StepHypRef Expression
1 pjthlem.1 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℂHil)
2 hlcph 25286 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
4 pjthlem.4 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 pjthlem.2 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐿)
6 pjthlem.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
7 pjthlem.l . . . . . 6 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
86, 7lssss 20814 . . . . 5 (𝑈𝐿𝑈𝑉)
95, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
10 pjthlem.5 . . . 4 (𝜑𝐵𝑈)
119, 10sseldd 3980 . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
12 pjthlem.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
136, 12cphipcl 25113 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
143, 4, 11, 13syl3anc 1369 . 2 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
1514abscld 15410 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , 𝐵)) ∈ ℝ)
1615recnd 11267 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , 𝐵)) ∈ ℂ)
1715resqcld 14116 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
1817renegcld 11666 . . . . . 6 (𝜑 → -((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
196, 12reipcl 25119 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵𝑉) → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℝ)
203, 11, 19syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℝ)
21 2re 12311 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
22 readdcl 11216 . . . . . . . 8 (((𝐵 , 𝐵) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℝ)
2320, 21, 22sylancl 585 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℝ)
24 0red 11242 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25 peano2re 11412 . . . . . . . . 9 ((𝐵 , 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
2620, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
276, 12ipge0 25120 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵𝑉) → 0 ≤ (𝐵 , 𝐵))
283, 11, 27syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵 , 𝐵))
2920ltp1d 12169 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) < ((𝐵 , 𝐵) + 1))
3024, 20, 26, 28, 29lelttrd 11397 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((𝐵 , 𝐵) + 1))
3126ltp1d 12169 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) < (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1))
32 df-2 12300 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
3332oveq2i 7426 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 , 𝐵) + 2) = ((𝐵 , 𝐵) + (1 + 1))
3420recnd 11267 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ)
35 ax-1cn 11191 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
36 addass 11220 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1) = ((𝐵 , 𝐵) + (1 + 1)))
3735, 35, 36mp3an23 1450 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ → (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1) = ((𝐵 , 𝐵) + (1 + 1)))
3834, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1) = ((𝐵 , 𝐵) + (1 + 1)))
3933, 38eqtr4id 2787 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 2) = (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1))
4031, 39breqtrrd 5171 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) < ((𝐵 , 𝐵) + 2))
4124, 26, 23, 30, 40lttrd 11400 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < ((𝐵 , 𝐵) + 2))
4223, 41elrpd 13040 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℝ+)
43 oveq2 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))
4443fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) = (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
4544breq2d 5155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) → ((𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ↔ (𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))))
46 pjthlem.7 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝑈 (𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
47 cphlmod 25096 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
483, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
49 pjthlem.8 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = ((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))
50 hlphl 25287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ PreHil)
511, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
52 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
53 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
5452, 12, 6, 53ipcl 21559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5551, 4, 11, 54syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5652, 53hlress 25290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ ℂHil → ℝ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
571, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ℝ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5857, 26sseldd 3980 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5920, 28ge0p1rpd 13073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
6059rpne0d 13048 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ≠ 0)
6152, 53cphdivcl 25104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝐵 , 𝐵) + 1) ≠ 0)) → ((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
623, 55, 58, 60, 61syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6349, 62eqeltrid 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
64 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
6552, 64, 53, 7lssvscl 20833 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐵𝑈)) → (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑈)
6648, 5, 63, 10, 65syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑈)
6745, 46, 66rspcdva 3609 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
68 cphngp 25095 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
693, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ NrmGrp)
70 pjthlem.n . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (norm‘𝑊)
716, 70nmcl 24519 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
7269, 4, 71syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
736, 52, 64, 53lmodvscl 20755 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐵𝑉) → (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
7448, 63, 11, 73syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
75 pjthlem.m . . . . . . . . . . . . . . 15 = (-g𝑊)
766, 75lmodvsubcl 20784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉)
7748, 4, 74, 76syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉)
786, 70nmcl 24519 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) ∈ ℝ)
7969, 77, 78syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) ∈ ℝ)
806, 70nmge0 24520 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
8169, 4, 80syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐴))
826, 70nmge0 24520 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
8369, 77, 82syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
8472, 79, 81, 83le2sqd 14246 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝐴) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) ↔ ((𝑁𝐴)↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2)))
8567, 84mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁𝐴)↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2))
8679resqcld 14116 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
8772resqcld 14116 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℝ)
8886, 87subge0d 11829 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 ≤ (((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) − ((𝑁𝐴)↑2)) ↔ ((𝑁𝐴)↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2)))
8985, 88mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) − ((𝑁𝐴)↑2)))
90 2z 12619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
91 rpexpcl 14072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
9259, 90, 91sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
9317, 92rerpdivcld 13074 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
9493, 23remulcld 11269 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) ∈ ℝ)
9594recnd 11267 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) ∈ ℂ)
9695negcld 11583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) ∈ ℂ)
976, 12cphipcl 25113 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐴𝑉) → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℂ)
983, 4, 4, 97syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 , 𝐴) ∈ ℂ)
9996, 98pncand 11597 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) + (𝐴 , 𝐴)) − (𝐴 , 𝐴)) = -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)))
1006, 12, 70nmsq 25116 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) = ((𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
1013, 77, 100syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) = ((𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
10212, 6, 75cphsubdir 25130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))))
1033, 4, 74, 77, 102syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))))
10412, 6, 75cphsubdi 25131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝐴 , 𝐴) − (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
1053, 4, 4, 74, 104syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝐴 , 𝐴) − (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
106105oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))) = (((𝐴 , 𝐴) − (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))))
1076, 12cphipcl 25113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ ℂ)
1083, 4, 74, 107syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ ℂ)
10912, 6, 75cphsubdi 25131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)) → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = (((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
1103, 74, 4, 74, 109syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = (((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))
1116, 12cphipcl 25113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉𝐴𝑉) → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ ℂ)
1123, 74, 4, 111syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ ℂ)
1136, 12cphipcl 25113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ ℂ)
1143, 74, 74, 113syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ ℂ)
115112, 114subcld 11596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) ∈ ℂ)
116110, 115eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) ∈ ℂ)
11798, 108, 116subsub4d 11627 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐴) − (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))) = ((𝐴 , 𝐴) − ((𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) + ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))))
11893recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
11926recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 1) ∈ ℂ)
120 1cnd 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
121118, 119, 120adddid 11263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1)) = (((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) + ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · 1)))
12239oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (((𝐵 , 𝐵) + 1) + 1)))
12312, 6, 52, 53, 64cphassr 25134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉)) → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((∗‘𝑇) · (𝐴 , 𝐵)))
1243, 63, 4, 11, 123syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((∗‘𝑇) · (𝐴 , 𝐵)))
12514, 119, 60divcld 12015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) ∈ ℂ)
12649, 125eqeltrid 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
127126cjcld 15170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (∗‘𝑇) ∈ ℂ)
128127, 14mulcomd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((∗‘𝑇) · (𝐴 , 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐵) · (∗‘𝑇)))
12914cjcld 15170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (∗‘(𝐴 , 𝐵)) ∈ ℂ)
13014, 129, 119, 60divassd 12050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐵) · (∗‘(𝐴 , 𝐵))) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) = ((𝐴 , 𝐵) · ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))))
13114absvalsqd 15416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) = ((𝐴 , 𝐵) · (∗‘(𝐴 , 𝐵))))
132131oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) = (((𝐴 , 𝐵) · (∗‘(𝐴 , 𝐵))) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
13349fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∗‘𝑇) = (∗‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
13414, 119, 60cjdivd 15197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (∗‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / (∗‘((𝐵 , 𝐵) + 1))))
13526cjred 15200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (∗‘((𝐵 , 𝐵) + 1)) = ((𝐵 , 𝐵) + 1))
136135oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / (∗‘((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
137134, 136eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (∗‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
138133, 137eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (∗‘𝑇) = ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
139138oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) · (∗‘𝑇)) = ((𝐴 , 𝐵) · ((∗‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))))
140130, 132, 1393eqtr4rd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) · (∗‘𝑇)) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
141124, 128, 1403eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
14217recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
143142, 119mulcomd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) = (((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2)))
144119sqvald 14134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2) = (((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
145143, 144oveq12d 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) = ((((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((𝐵 , 𝐵) + 1))))
146142, 119, 119, 60, 60divcan5d 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1) · ((𝐵 , 𝐵) + 1))) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
147145, 146eqtr2d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)))
14892rpcnd 13045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2) ∈ ℂ)
14992rpne0d 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2) ≠ 0)
150142, 119, 148, 149div23d 12052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
151141, 147, 1503eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
15293, 26remulcld 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) ∈ ℝ)
153151, 152eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) ∈ ℝ)
154153cjred 15200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (∗‘(𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = (𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))
15512, 6cphipcj 25121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉 ∧ (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → (∗‘(𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴))
1563, 4, 74, 155syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (∗‘(𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴))
157154, 156, 1513eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
15812, 6, 52, 53, 64cph2ass 25135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝐵𝑉𝐵𝑉)) → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐵 , 𝐵)))
1593, 63, 63, 11, 11, 158syl122anc 1377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐵 , 𝐵)))
16049fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (abs‘𝑇) = (abs‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
16114, 119, 60absdivd 15429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / (abs‘((𝐵 , 𝐵) + 1))))
16259rpge0d 13047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐵 , 𝐵) + 1))
16326, 162absidd 15396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (abs‘((𝐵 , 𝐵) + 1)) = ((𝐵 , 𝐵) + 1))
164163oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / (abs‘((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
165161, 164eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))) = ((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
166160, 165eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (abs‘𝑇) = ((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1)))
167166oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))↑2))
168126absvalsqd 15416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (𝑇 · (∗‘𝑇)))
16916, 119, 60sqdivd 14150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵)) / ((𝐵 , 𝐵) + 1))↑2) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)))
170167, 168, 1693eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑇 · (∗‘𝑇)) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)))
171170oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐵 , 𝐵)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (𝐵 , 𝐵)))
172159, 171eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (𝐵 , 𝐵)))
173157, 172oveq12d 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , 𝐴) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = (((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (𝐵 , 𝐵))))
174 pncan2 11492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐵 , 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐵 , 𝐵) + 1) − (𝐵 , 𝐵)) = 1)
17534, 35, 174sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐵 , 𝐵) + 1) − (𝐵 , 𝐵)) = 1)
176175oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (((𝐵 , 𝐵) + 1) − (𝐵 , 𝐵))) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · 1))
177118, 119, 34subdid 11695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (((𝐵 , 𝐵) + 1) − (𝐵 , 𝐵))) = (((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (𝐵 , 𝐵))))
178176, 177eqtr3d 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · 1) = (((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · (𝐵 , 𝐵))))
179173, 110, 1783eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · 1))
180151, 179oveq12d 7433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) + ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))) = (((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 1)) + ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · 1)))
181121, 122, 1803eqtr4rd 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) + ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)))
182181oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) − ((𝐴 , (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)) + ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))))) = ((𝐴 , 𝐴) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))))
183106, 117, 1823eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵))) − ((𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵) , (𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))) = ((𝐴 , 𝐴) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))))
184101, 103, 1833eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) = ((𝐴 , 𝐴) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))))
18598, 95negsubd 11602 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))) = ((𝐴 , 𝐴) − ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))))
18698, 96addcomd 11441 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2))) = (-((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) + (𝐴 , 𝐴)))
187184, 185, 1863eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) = (-((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) + (𝐴 , 𝐴)))
1886, 12, 70nmsq 25116 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝑁𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
1893, 4, 188syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
190187, 189oveq12d 7433 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) − ((𝑁𝐴)↑2)) = ((-((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) + (𝐴 , 𝐴)) − (𝐴 , 𝐴)))
19123renegcld 11666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℝ)
192191recnd 11267 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℂ)
193142, 192, 148, 149div23d 12052 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) = ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)))
19423recnd 11267 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℂ)
195118, 194mulneg2d 11693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) = -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)))
196193, 195eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) = -((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)))
19799, 190, 1963eqtr4rd 2779 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)) = (((𝑁‘(𝐴 (𝑇( ·𝑠𝑊)𝐵)))↑2) − ((𝑁𝐴)↑2)))
19889, 197breqtrrd 5171 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2)))
19917, 191remulcld 11269 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) ∈ ℝ)
200199, 92ge0divd 13081 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) ↔ 0 ≤ ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)) / (((𝐵 , 𝐵) + 1)↑2))))
201198, 200mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)))
202 mulneg12 11677 . . . . . . . 8 ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 , 𝐵) + 2) ∈ ℂ) → (-((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)))
203142, 194, 202syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → (-((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)) = (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · -((𝐵 , 𝐵) + 2)))
204201, 203breqtrrd 5171 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (-((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) · ((𝐵 , 𝐵) + 2)))
20518, 42, 204prodge0ld 13109 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ -((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2))
20617le0neg1d 11810 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2)))
207205, 206mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ≤ 0)
20815sqge0d 14128 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2))
209 0re 11241 . . . . 5 0 ∈ ℝ
210 letri3 11324 . . . . 5 ((((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) = 0 ↔ (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2))))
21117, 209, 210sylancl 585 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) = 0 ↔ (((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2))))
212207, 208, 211mpbir2and 712 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 , 𝐵))↑2) = 0)
21316, 212sqeq0d 14136 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , 𝐵)) = 0)
21414, 213abs00d 15420 1 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936  wral 3057  wss 3945   class class class wbr 5143  cfv 6543  (class class class)co 7415  cc 11131  cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   · cmul 11138   < clt 11273  cle 11274  cmin 11469  -cneg 11470   / cdiv 11896  2c2 12292  cz 12583  +crp 13001  cexp 14053  ccj 15070  abscabs 15208  Basecbs 17174  +gcplusg 17227  Scalarcsca 17230   ·𝑠 cvsca 17231  ·𝑖cip 17232  -gcsg 18886  LModclmod 20737  LSubSpclss 20809  PreHilcphl 21550  normcnm 24479  NrmGrpcngp 24480  ℂPreHilccph 25088  ℂHilchl 25256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212  ax-mulf 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-tpos 8226  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8719  df-map 8841  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-sbg 18889  df-mulg 19018  df-subg 19072  df-ghm 19162  df-cntz 19262  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169  df-cring 20170  df-oppr 20267  df-dvdsr 20290  df-unit 20291  df-invr 20321  df-dvr 20334  df-rhm 20405  df-subrng 20477  df-subrg 20502  df-drng 20620  df-staf 20719  df-srng 20720  df-lmod 20739  df-lss 20810  df-lmhm 20901  df-lvec 20982  df-sra 21052  df-rgmod 21053  df-psmet 21265  df-xmet 21266  df-met 21267  df-bl 21268  df-mopn 21269  df-fbas 21270  df-fg 21271  df-cnfld 21274  df-phl 21552  df-top 22790  df-topon 22807  df-topsp 22829  df-bases 22843  df-cld 22917  df-ntr 22918  df-cls 22919  df-nei 22996  df-cn 23125  df-cnp 23126  df-haus 23213  df-cmp 23285  df-tx 23460  df-hmeo 23653  df-fil 23744  df-flim 23837  df-fcls 23839  df-xms 24220  df-ms 24221  df-tms 24222  df-nm 24485  df-ngp 24486  df-nlm 24489  df-cncf 24792  df-clm 24984  df-cph 25090  df-cfil 25177  df-cmet 25179  df-cms 25257  df-bn 25258  df-hl 25259
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