Theorem divassd 12049

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11914	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  (class class class)co 7414  ℂcc 11130  0cc0 11132   · cmul 11137   / cdiv 11895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896

This theorem is referenced by:  zesq  14214  discr  14228  crre  15087  abs1m  15308  sqreulem  15332  o1rlimmul  15589  geoisum1c  15852  mertenslem1  15856  eftlub  16079  lcmgcdlem  16570  cncongr2  16632  isprm5  16671  pcaddlem  16850  pockthlem  16867  mul4sqlem  16915  4sqlem17  16923  odadd1  19796  nmoleub3  25039  ipcau2  25155  pjthlem1  25358  dvrec  25880  plyeq0lem  26137  aareccl  26254  dvradcnv  26350  abelthlem7  26368  tangtx  26433  tanarg  26546  logcnlem4  26572  mcubic  26772  cubic2  26773  dquart  26778  quart1lem  26780  quart1  26781  tanatan  26844  atantan  26848  dvatan  26860  atantayl  26862  log2cnv  26869  lgamgulmlem4  26957  basellem3  27008  perfectlem2  27156  bposlem1  27210  bposlem2  27211  lgsquad2lem1  27310  chebbnd1lem2  27396  selberg3lem1  27483  selberg4lem1  27486  selberg4  27487  selberg4r  27496  pntrlog2bndlem2  27504  pntrlog2bndlem3  27505  pntrlog2bndlem4  27506  pntrlog2bndlem5  27507  pntrlog2bndlem6  27509  pntibndlem2  27517  pntlemo  27533  ostth2lem3  27561  axeuclidlem  28766  pjhthlem1  31194  signsplypnf  34172  hgt750leme  34280  subfaclim  34788  circum  35268  faclimlem1  35327  faclimlem3  35329  knoppndvlem2  35978  knoppndvlem7  35983  knoppndvlem17  35993  itg2addnclem  37133  dvasin  37166  areacirclem1  37170  lcmineqlem11  41499  lcmineqlem18  41506  dvrelogpow2b  41528  aks4d1p1p7  41534  pellexlem6  42226  reglogexp  42286  sqrtcval  43043  binomcxplemwb  43757  binomcxplemnotnn0  43765  0ellimcdiv  45009  stoweidlem1  45361  wallispilem4  45428  stirlinglem3  45436  stirlinglem4  45437  stirlinglem7  45440  dirkertrigeq  45461  dirkercncflem2  45464  fourierdlem30  45497  fourierdlem83  45549  elaa2lem  45593  etransclem23  45617  etransclem24  45618  etransclem44  45638  etransclem45  45639  perfectALTVlem2  47034  itscnhlc0xyqsol  47810  itsclc0xyqsolr  47814  itsclquadb  47821