pjhthlem1 - Hilbert Space Explorer

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Theorem pjhthlem1 31195

Description: Lemma for pjhth 31197. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pjhth.1	⊢ 𝐻 ∈ C_ℋ
pjhth.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℋ)
pjhth.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐻)
pjhth.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐻)
pjhth.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐻 (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ≤ (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝑥)))
pjhth.6	⊢ 𝑇 = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))

**Assertion**
Ref	Expression
pjhthlem1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) = 0)

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝑥,𝐻 𝑥,𝑇 Allowed substitution hint: 𝜑(𝑥)

**Proof of Theorem pjhthlem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhth.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℋ)
2		pjhth.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐻)
3		pjhth.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ C_ℋ
4	3	cheli 31036	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐻 → 𝐵 ∈ ℋ)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℋ)
6		hvsubcl 30821	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
7	1, 5, 6	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
8		pjhth.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐻)
9	3	cheli 31036	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐻 → 𝐶 ∈ ℋ)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℋ)
11		hicl 30884	. . 3 ⊢ (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) ∈ ℂ)
12	7, 10, 11	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) ∈ ℂ)
13	12	abscld 15410	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11267	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) ∈ ℂ)
15	13	resqcld 14116	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
16	15	renegcld 11666	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
17		hiidrcl 30899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 ·_ih 𝐶) ∈ ℝ)
18	10, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·_ih 𝐶) ∈ ℝ)
19		2re 12311	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
20		readdcl 11216	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ·_ih 𝐶) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
21	18, 19, 20	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
22		0red 11242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23		peano2re 11412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ·_ih 𝐶) ∈ ℝ → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ)
24	18, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ)
25		hiidge0 30902	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐶 ·_ih 𝐶))
26	10, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐶 ·_ih 𝐶))
27	18	ltp1d 12169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·_ih 𝐶) < ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))
28	22, 18, 24, 26, 27	lelttrd 11397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))
29	24	ltp1d 12169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) < (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) + 1))
30		df-2 12300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
31	30	oveq2i 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2) = ((𝐶 ·_ih 𝐶) + (1 + 1))
32	18	recnd 11267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·_ih 𝐶) ∈ ℂ)
33		ax-1cn 11191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		addass 11220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 ·_ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·_ih 𝐶) + (1 + 1)))
35	33, 33, 34	mp3an23 1450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ·_ih 𝐶) ∈ ℂ → (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·_ih 𝐶) + (1 + 1)))
36	32, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·_ih 𝐶) + (1 + 1)))
37	31, 36	eqtr4id 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2) = (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) + 1))
38	29, 37	breqtrrd 5171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) < ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2))
39	22, 24, 21, 28, 38	lttrd 11400	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2))
40	21, 39	elrpd 13040	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ⁺)
41		oveq2 7423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) → (𝐴 −_ℎ 𝑥) = (𝐴 −_ℎ (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))
42	41	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) → (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝑥)) = (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))))
43	42	breq2d 5155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) → ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ≤ (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝑥)) ↔ (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ≤ (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))))
44		pjhth.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐻 (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ≤ (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝑥)))
45	3	chshii 31031	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐻 ∈ S_ℋ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ S_ℋ )
47		pjhth.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑇 = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))
48	24	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) ∈ ℂ)
49	18, 26	ge0p1rpd 13073	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ⁺)
50	49	rpne0d 13048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) ≠ 0)
51	12, 48, 50	divcld 12015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) ∈ ℂ)
52	47, 51	eqeltrid 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
53		shmulcl 31022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐻 ∈ S_ℋ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ 𝐻)
54	46, 52, 8, 53	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ 𝐻)
55		shaddcl 31021	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐻 ∈ S_ℋ ∧ 𝐵 ∈ 𝐻 ∧ (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ 𝐻) → (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ 𝐻)
56	46, 2, 54, 55	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ 𝐻)
57	43, 44, 56	rspcdva 3609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ≤ (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))))
58	3	cheli 31036	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ 𝐻 → (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
59	54, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
60		hvsubass 30848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = (𝐴 −_ℎ (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))
61	1, 5, 59, 60	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = (𝐴 −_ℎ (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))
62	61	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) = (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))))
63	57, 62	breqtrrd 5171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ≤ (norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))
64		normcl 30929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ∈ ℝ)
65	7, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ∈ ℝ)
66		hvsubcl 30821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℋ)
67	7, 59, 66	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℋ)
68		normcl 30929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℋ → (norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) ∈ ℝ)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) ∈ ℝ)
70		normge0 30930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))
71	7, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))
72	22, 65, 69, 71, 63	letrd 11396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))
73	65, 69, 71, 72	le2sqd 14246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ≤ (norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) ↔ ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2) ≤ ((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2)))
74	63, 73	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2) ≤ ((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2))
75	69	resqcld 14116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2) ∈ ℝ)
76	65	resqcld 14116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
77	75, 76	subge0d 11829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) ↔ ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2) ≤ ((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2)))
78	74, 77	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)))
79		2z 12619	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
80		rpexpcl 14072	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ⁺ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ⁺)
81	49, 79, 80	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ⁺)
82	15, 81	rerpdivcld 13074	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
83	82, 21	remulcld 11269	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) ∈ ℝ)
84	83	recnd 11267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) ∈ ℂ)
85	84	negcld 11583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) ∈ ℂ)
86		hicl 30884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
87	7, 7, 86	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
88	85, 87	pncand 11597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((-((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) = -((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)))
89		normsq 30938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℋ → ((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))
90	67, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))
91		his2sub 30896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℋ) → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))))
92	7, 59, 67, 91	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))))
93		his2sub2 30897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))
94	7, 7, 59, 93	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))
95	94	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))) = ((((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))))
96		hicl 30884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℂ)
97	7, 59, 96	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℂ)
98		his2sub2 30897	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) = (((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))
99	59, 7, 59, 98	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) = (((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))
100		hicl 30884	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
101	59, 7, 100	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
102		hicl 30884	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℂ)
103	59, 59, 102	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℂ)
104	101, 103	subcld 11596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) ∈ ℂ)
105	99, 104	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) ∈ ℂ)
106	87, 97, 105	subsub4d 11627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) + ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))))
107	82	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
108	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
109	107, 48, 108	adddid 11263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) + 1)) = (((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) + ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1)))
110	37	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) = ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) + 1)))
111		his5 30890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = ((∗‘𝑇) · ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)))
112	52, 7, 10, 111	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = ((∗‘𝑇) · ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)))
113	52	cjcld 15170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑇) ∈ ℂ)
114	113, 12	mulcomd 11260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝑇) · ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) · (∗‘𝑇)))
115	12	cjcld 15170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) ∈ ℂ)
116	12, 115, 48, 50	divassd 12050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) · ((∗‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))))
117	12	absvalsqd 15416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))))
118	117	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) = ((((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
119	47	fveq2i 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∗‘𝑇) = (∗‘(((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
120	12, 48, 50	cjdivd 15197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (∗‘(((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / (∗‘((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))))
121	24	cjred 15200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) = ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))
122	121	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((∗‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / (∗‘((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
123	120, 122	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (∗‘(((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
124	119, 123	eqtrid 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑇) = ((∗‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
125	124	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) · (∗‘𝑇)) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) · ((∗‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))))
126	116, 118, 125	3eqtr4rd 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) · (∗‘𝑇)) = (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
127	112, 114, 126	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
128	15	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) ∈ ℂ)
129	128, 48	mulcomd 11260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) = (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2)))
130	48	sqvald 14134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2) = (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
131	129, 130	oveq12d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2)) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))))
132	128, 48, 48, 50, 50	divcan5d 12041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2)) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))) = (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
133	131, 132	eqtr2d 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) = ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)))
134	24	resqcld 14116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ)
135	134	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℂ)
136	81	rpne0d 13048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2) ≠ 0)
137	128, 48, 135, 136	div23d 12052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
138	127, 133, 137	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
139	82, 24	remulcld 11269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) ∈ ℝ)
140	138, 139	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℝ)
141		hire 30898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))))
142	7, 59, 141	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))))
143	140, 142	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)))
144	143, 138	eqtr3d 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
145		his35 30892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·_ih 𝐶)))
146	52, 52, 10, 10, 145	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·_ih 𝐶)))
147	47	fveq2i 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (abs‘𝑇) = (abs‘(((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
148	12, 48, 50	absdivd 15429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / (abs‘((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))))
149	49	rpge0d 13047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))
150	24, 149	absidd 15396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) = ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))
151	150	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / (abs‘((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
152	148, 151	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
153	147, 152	eqtrid 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑇) = ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
154	153	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))↑2))
155	52	absvalsqd 15416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (𝑇 · (∗‘𝑇)))
156	14, 48, 50	sqdivd 14150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))↑2) = (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)))
157	154, 155, 156	3eqtr3d 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (∗‘𝑇)) = (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)))
158	157	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·_ih 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·_ih 𝐶)))
159	146, 158	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·_ih 𝐶)))
160	144, 159	oveq12d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) = (((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·_ih 𝐶))))
161		pncan2 11492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐶 ·_ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·_ih 𝐶)) = 1)
162	32, 33, 161	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·_ih 𝐶)) = 1)
163	162	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·_ih 𝐶))) = ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1))
164	107, 48, 32	subdid 11695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·_ih 𝐶))) = (((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·_ih 𝐶))))
165	163, 164	eqtr3d 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1) = (((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·_ih 𝐶))))
166	160, 99, 165	3eqtr4d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) = ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1))
167	138, 166	oveq12d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) + ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))) = (((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) + ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1)))
168	109, 110, 167	3eqtr4rd 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) + ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))) = ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)))
169	168	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) + ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2))))
170	95, 106, 169	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2))))
171	90, 92, 170	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2))))
172	87, 84	negsubd 11602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) + -((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2))) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2))))
173	87, 85	addcomd 11441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) + -((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2))) = (-((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))))
174	171, 172, 173	3eqtr2d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2) = (-((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))))
175		normsq 30938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ → ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2) = ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)))
176	7, 175	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2) = ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)))
177	174, 176	oveq12d 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) = ((-((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))))
178	21	renegcld 11666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
179	178	recnd 11267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ)
180	128, 179, 135, 136	div23d 12052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)))
181	21	recnd 11267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ)
182	107, 181	mulneg2d 11693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) = -((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)))
183	180, 182	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) = -((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)))
184	88, 177, 183	3eqtr4rd 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) = (((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)))
185	78, 184	breqtrrd 5171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)))
186	15, 178	remulcld 11269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) ∈ ℝ)
187	186, 81	ge0divd 13081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) ↔ 0 ≤ ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2))))
188	185, 187	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)))
189		mulneg12 11677	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ) → (-((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) = (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)))
190	128, 181, 189	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) = (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)))
191	188, 190	breqtrrd 5171	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (-((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)))
192	16, 40, 191	prodge0ld 13109	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ -((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2))
193	15	le0neg1d 11810	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2)))
194	192, 193	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) ≤ 0)
195	13	sqge0d 14128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2))
196		0re 11241	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
197		letri3 11324	. . . . 5 ⊢ ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) = 0 ↔ (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2))))
198	15, 196, 197	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) = 0 ↔ (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2))))
199	194, 195, 198	mpbir2and 712	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) = 0)
200	14, 199	sqeq0d 14136	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) = 0)
201	12, 200	abs00d 15420	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) = 0)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 = wceq 1534 ∈ wcel 2099 ∀wral 3057 class class class wbr 5143 ‘cfv 6543 (class class class)co 7415 ℂcc 11131 ℝcr 11132 0cc0 11133 1c1 11134 + caddc 11136 · cmul 11138 < clt 11273 ≤ cle 11274 − cmin 11469 -cneg 11470 / cdiv 11896 2c2 12292 ℤcz 12583 ℝ⁺crp 13001 ↑cexp 14053 ∗ccj 15070 abscabs 15208 ℋchba 30723 +_ℎ cva 30724 ·_ℎ csm 30725 ·_ih csp 30726 norm_ℎcno 30727 −_ℎ cmv 30729 S_ℋ csh 30732 C_ℋ cch 30733

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5360 ax-pr 5424 ax-un 7735 ax-cnex 11189 ax-resscn 11190 ax-1cn 11191 ax-icn 11192 ax-addcl 11193 ax-addrcl 11194 ax-mulcl 11195 ax-mulrcl 11196 ax-mulcom 11197 ax-addass 11198 ax-mulass 11199 ax-distr 11200 ax-i2m1 11201 ax-1ne0 11202 ax-1rid 11203 ax-rnegex 11204 ax-rrecex 11205 ax-cnre 11206 ax-pre-lttri 11207 ax-pre-lttrn 11208 ax-pre-ltadd 11209 ax-pre-mulgt0 11210 ax-pre-sup 11211 ax-hilex 30803 ax-hfvadd 30804 ax-hvass 30806 ax-hv0cl 30807 ax-hfvmul 30809 ax-hvdistr1 30812 ax-hvmul0 30814 ax-hfi 30883 ax-his1 30886 ax-his2 30887 ax-his3 30888 ax-his4 30889

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3472 df-sbc 3776 df-csb 3891 df-dif 3948 df-un 3950 df-in 3952 df-ss 3962 df-pss 3964 df-nul 4320 df-if 4526 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-op 4632 df-uni 4905 df-iun 4994 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5571 df-eprel 5577 df-po 5585 df-so 5586 df-fr 5628 df-we 5630 df-xp 5679 df-rel 5680 df-cnv 5681 df-co 5682 df-dm 5683 df-rn 5684 df-res 5685 df-ima 5686 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7371 df-ov 7418 df-oprab 7419 df-mpo 7420 df-om 7866 df-2nd 7989 df-frecs 8281 df-wrecs 8312 df-recs 8386 df-rdg 8425 df-er 8719 df-en 8959 df-dom 8960 df-sdom 8961 df-sup 9460 df-pnf 11275 df-mnf 11276 df-xr 11277 df-ltxr 11278 df-le 11279 df-sub 11471 df-neg 11472 df-div 11897 df-nn 12238 df-2 12300 df-3 12301 df-n0 12498 df-z 12584 df-uz 12848 df-rp 13002 df-seq 13994 df-exp 14054 df-cj 15073 df-re 15074 df-im 15075 df-sqrt 15209 df-abs 15210 df-hnorm 30772 df-hvsub 30775 df-sh 31011 df-ch 31025

This theorem is referenced by: pjhthlem2 31196

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