Theorem subdid 11692

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subdid	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subdid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subdi 11669	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414  ℂcc 11128   · cmul 11135   − cmin 11466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11468

This theorem is referenced by:  muls1d  11696  addmulsub  11698  recextlem1  11866  cru  12226  cju  12230  zneo  12667  qbtwnre  13202  lincmb01cmp  13496  iccf1o  13497  intfracq  13848  modlt  13869  moddi  13928  modsubdir  13929  subsq  14197  expmulnbnd  14221  crre  15085  remullem  15099  mulcn2  15564  iseraltlem3  15654  fsumparts  15776  geoserg  15836  mertens  15856  bpolydiflem  16022  bpoly4  16027  fsumcube  16028  tanval3  16102  tanadd  16135  eirrlem  16172  bezoutlem3  16508  cncongr1  16629  eulerthlem2  16742  prmdiv  16745  prmdiveq  16746  4sqlem10  16907  mul4sqlem  16913  4sqlem17  16921  blcvx  24701  icopnfhmeo  24855  pcoass  24938  cphipval  25158  pjthlem1  25352  itgmulc2lem2  25749  dvmulbr  25856  dvmulbrOLD  25857  cmvth  25910  cmvthOLD  25911  dvcvx  25940  dvfsumle  25941  dvfsumleOLD  25942  dvfsumabs  25944  dvfsumlem2  25948  dvfsumlem2OLD  25949  aaliou3lem8  26267  abelthlem2  26356  tangtx  26427  tanregt0  26460  efif1olem2  26464  efif1olem4  26466  ang180lem5  26732  isosctrlem2  26738  isosctrlem3  26739  affineequiv  26742  heron  26757  dcubic1  26764  dquart  26772  quartlem1  26776  asinsin  26811  efiatan  26831  atanlogsublem  26834  efiatan2  26836  2efiatan  26837  tanatan  26838  atantayl2  26857  lgamgulmlem2  26949  lgamgulmlem3  26950  ftalem5  26996  basellem3  27002  basellem5  27004  logfaclbnd  27142  lgseisenlem2  27296  lgsquadlem1  27300  2sqlem4  27341  2sqmod  27356  vmadivsum  27402  rplogsumlem1  27404  dchrmusum2  27414  dchrvmasumiflem2  27422  rpvmasum2  27432  dchrisum0lem2a  27437  dchrisum0lem2  27438  rplogsum  27447  mulogsumlem  27451  mulogsum  27452  mulog2sumlem1  27454  mulog2sumlem2  27455  mulog2sumlem3  27456  vmalogdivsum2  27458  vmalogdivsum  27459  2vmadivsumlem  27460  logsqvma  27462  selberglem1  27465  selberglem2  27466  selberg2lem  27470  chpdifbndlem1  27473  selberg3lem1  27477  selberg4lem1  27480  selberg4  27481  pntrsumo1  27485  selbergr  27488  selberg3r  27489  selberg4r  27490  selberg34r  27491  pntrlog2bndlem4  27500  pntrlog2bndlem5  27501  pntrlog2bndlem6  27503  pntlemo  27527  ttgcontlem1  28682  brbtwn2  28703  colinearalglem1  28704  axcontlem8  28769  pjhthlem1  31188  knoppndvlem11  35933  knoppndvlem14  35936  knoppndvlem15  35937  knoppndvlem16  35938  bj-bary1lem  36725  bj-bary1lem1  36726  itgmulc2nclem2  37095  areacirclem1  37116  areacirclem4  37119  areacirc  37121  cntotbnd  37204  posbezout  41507  hashscontpow1  41525  nicomachus  41794  irrapxlem2  42165  irrapxlem3  42166  irrapxlem5  42168  pellexlem6  42176  pell1qrgaplem  42215  qirropth  42250  jm2.17a  42303  congmul  42310  jm2.18  42331  areaquad  42567  itgsinexp  45266  stoweidlem26  45337  stirlinglem7  45391  fourierdlem83  45500  etransclem46  45591  smfmullem1  46102  fmtnorec3  46811  fmtnorec4  46812  fppr2odd  46994  itcovalt2lem2lem2  47670  submuladdmuld  47697  affinecomb2  47699  itsclc0yqsollem1  47758  itsclc0yqsol  47760  itscnhlc0xyqsol  47761  itsclc0xyqsolr  47765  2itscplem3  47776  itscnhlinecirc02plem1  47778