Theorem ringccat 20590

Description: The category of unital rings is a category. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (Revised by AV, 9-Mar-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ringccat.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ringccat	⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)

Proof of Theorem ringccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringccat.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		eqidd 2729	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) = (𝑈 ∩ Ring))
4		eqidd 2729	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) = ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))
5	1, 2, 3, 4	ringcval 20574	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))))
6		eqid 2728	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))))
7		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
8		eqidd 2729	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (Ring ∩ 𝑈) = (Ring ∩ 𝑈))
9		incom 4198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∩ Ring) = (Ring ∩ 𝑈)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) = (Ring ∩ 𝑈))
11	10	sqxpeqd 5705	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)) = ((Ring ∩ 𝑈) × (Ring ∩ 𝑈)))
12	11	reseq2d 5980	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) = ( RingHom ↾ ((Ring ∩ 𝑈) × (Ring ∩ 𝑈))))
13	7, 2, 8, 12	rhmsubcsetc 20589	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring))) ∈ (Subcat‘(ExtStrCat‘𝑈)))
14	6, 13	subccat 17828	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RingHom ↾ ((𝑈 ∩ Ring) × (𝑈 ∩ Ring)))) ∈ Cat)
15	5, 14	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3944   × cxp 5671   ↾ cres 5675  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  Catccat 17638   ↾_cat cresc 17785  ExtStrCatcestrc 18106  Ringcrg 20167   RingHom crh 20402  RingCatcringc 20572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-map 8841  df-pm 8842  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-cat 17642  df-cid 17643  df-homf 17644  df-ssc 17787  df-resc 17788  df-subc 17789  df-estrc 18107  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-grp 18887  df-ghm 19162  df-mgp 20069  df-ur 20116  df-ring 20169  df-rhm 20405  df-ringc 20573

This theorem is referenced by:  ringcsect  20597  ringcinv  20598  ringciso  20599  zrtermoringc  20602  zrninitoringc  20603  srhmsubc  20607  irinitoringc  21399  nzerooringczr  21400  funcringcsetcALTV2  47352