Theorem pntrsumbnd 27493

Description: A bound on a sum over 𝑅. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntrval.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
pntrsumbnd	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐

Distinct variable groups:   𝑚,𝑎,𝑛   𝑚,𝑐,𝑛,𝑅

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrsumbnd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 4002	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℝ)
2		1red 11240	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
3		fzfid 13965	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (1...(⌊‘𝑚)) ∈ Fin)
4		elfznn 13557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚)) → 𝑛 ∈ ℕ)
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))) → 𝑛 ∈ ℕ)
6		nnrp 13012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
7		pntrval.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
8	7	pntrf 27490	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅:ℝ+⟶ℝ
9	8	ffvelcdmi 7088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
10	6, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
11		peano2nn 12249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
12		nnmulcl 12261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
13	11, 12	mpdan 686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
14	10, 13	nndivred 12291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11267	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
16	5, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
17	3, 16	fsumcl 15706	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
18	7	pntrsumo1 27492	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ 𝑂(1)
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑚 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ 𝑂(1))
20		fzfid 13965	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
21		elfznn 13557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
23	22, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
24	23	abscld 15410	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
25	20, 24	fsumrecl 15707	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
26	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
27	26	abscld 15410	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
28		fzfid 13965	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → (1...(⌊‘𝑚)) ∈ Fin)
29	16	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
30	29	abscld 15410	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))) → (abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
31	28, 30	fsumrecl 15707	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
32	25	ad2ant2r 746	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
33	28, 29	fsumabs 15774	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
34		fzfid 13965	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
35	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
36	35, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
37	36	abscld 15410	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
38	36	absge0d 15418	. . . . . 6 ⊢ ((((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
39		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → 𝑚 ∈ ℝ)
40		simprll 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
41		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → 𝑚 < 𝑥)
42	39, 40, 41	ltled 11387	. . . . . . . 8 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → 𝑚 ≤ 𝑥)
43		flword2 13805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝑚)))
44	39, 40, 42, 43	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝑚)))
45		fzss2 13568	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘(⌊‘𝑚)) → (1...(⌊‘𝑚)) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)))
46	44, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → (1...(⌊‘𝑚)) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)))
47	34, 37, 38, 46	fsumless 15769	. . . . 5 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
48	27, 31, 32, 33, 47	letrd 11396	. . . 4 ⊢ (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
49	1, 2, 17, 19, 25, 48	o1bddrp 15513	. . 3 ⊢ (⊤ → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ℝ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
50	49	mptru 1541	. 2 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ℝ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐
51		zre 12587	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
52	51	imim1i 63	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐) → (𝑚 ∈ ℤ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐))
53		flid 13800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
54	53	oveq2d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (1...(⌊‘𝑚)) = (1...𝑚))
55	54	sumeq1d 15674	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
56	55	fveq2d 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
57	56	breq1d 5153	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐))
58	52, 57	mpbidi 240	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐) → (𝑚 ∈ ℤ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐))
59	58	ralimi2 3074	. . 3 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℝ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
60	59	reximi 3080	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ℝ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
61	50, 60	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534  ⊤wtru 1535   ∈ wcel 2099  ∀wral 3057  ∃wrex 3066   ⊆ wss 3945   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  ℂcc 11131  ℝcr 11132  1c1 11134   + caddc 11136   · cmul 11138   < clt 11273   ≤ cle 11274   − cmin 11469   / cdiv 11896  ℕcn 12237  ℤcz 12583  ℤ_≥cuz 12847  ℝ⁺crp 13001  ...cfz 13511  ⌊cfl 13782  abscabs 15208  𝑂(1)co1 15457  Σcsu 15659  ψcchp 27019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-er 8719  df-map 8841  df-pm 8842  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-dju 9919  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-o1 15461  df-lo1 15462  df-sum 15660  df-ef 16038  df-e 16039  df-sin 16040  df-cos 16041  df-tan 16042  df-pi 16043  df-dvds 16226  df-gcd 16464  df-prm 16637  df-pc 16800  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19018  df-cntz 19262  df-cmn 19731  df-psmet 21265  df-xmet 21266  df-met 21267  df-bl 21268  df-mopn 21269  df-fbas 21270  df-fg 21271  df-cnfld 21274  df-top 22790  df-topon 22807  df-topsp 22829  df-bases 22843  df-cld 22917  df-ntr 22918  df-cls 22919  df-nei 22996  df-lp 23034  df-perf 23035  df-cn 23125  df-cnp 23126  df-haus 23213  df-cmp 23285  df-tx 23460  df-hmeo 23653  df-fil 23744  df-fm 23836  df-flim 23837  df-flf 23838  df-xms 24220  df-ms 24221  df-tms 24222  df-cncf 24792  df-limc 25789  df-dv 25790  df-ulm 26307  df-log 26484  df-cxp 26485  df-atan 26793  df-em 26919  df-cht 27023  df-vma 27024  df-chp 27025  df-ppi 27026

This theorem is referenced by:  pntrsumbnd2  27494