Theorem nndivred 12288

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414  ℝcr 11129   / cdiv 11893  ℕcn 12234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14300  reeftcl  16042  efcllem  16045  eftlub  16077  eirrlem  16172  dvdsmod  16297  bitsfzo  16401  bitsmod  16402  bitscmp  16404  bitsuz  16440  bezoutlem3  16508  hashdvds  16735  prmdiv  16745  odzdvds  16755  pcfaclem  16858  pcfac  16859  pcbc  16860  pockthlem  16865  prmreclem4  16879  odmod  19492  zringlpirlem3  21377  prmirredlem  21385  lebnumii  24879  ovoliunlem1  25418  uniioombllem4  25502  dyadss  25510  dyaddisjlem  25511  dyadmaxlem  25513  opnmbllem  25517  mbfi1fseqlem1  25632  mbfi1fseqlem3  25634  mbfi1fseqlem4  25635  mbfi1fseqlem5  25636  mbfi1fseqlem6  25637  aaliou3lem9  26272  taylthlem2  26296  taylthlem2OLD  26297  advlogexp  26576  leibpilem2  26860  leibpi  26861  leibpisum  26862  birthdaylem3  26872  amgmlem  26909  fsumharmonic  26931  lgamgulmlem2  26949  lgamgulmlem3  26950  lgamgulmlem4  26951  lgamgulmlem6  26953  regamcl  26980  basellem4  27003  dvdsflf1o  27106  fsumfldivdiaglem  27108  logexprlim  27145  pcbcctr  27196  bcp1ctr  27199  bposlem2  27205  bposlem6  27209  lgseisenlem4  27298  lgseisen  27299  lgsquadlem1  27300  lgsquadlem2  27301  chebbnd1lem3  27391  chtppilimlem1  27393  vmadivsum  27402  vmadivsumb  27403  rplogsumlem1  27404  rplogsumlem2  27405  rpvmasumlem  27407  dchrisumlem1  27409  dchrvmasumlem1  27415  dchrvmasum2lem  27416  dchrvmasum2if  27417  dchrvmasumlem2  27418  dchrvmasumlem3  27419  dchrvmasumiflem1  27421  dchrvmasumiflem2  27422  rpvmasum2  27432  dchrisum0lem1  27436  dchrmusumlem  27442  dirith2  27448  mudivsum  27450  mulogsumlem  27451  mulogsum  27452  mulog2sumlem1  27454  mulog2sumlem2  27455  mulog2sumlem3  27456  vmalogdivsum2  27458  vmalogdivsum  27459  2vmadivsumlem  27460  selberglem1  27465  selberglem2  27466  selbergb  27469  selberg2b  27472  logdivbnd  27476  selberg3lem1  27477  selberg3  27479  selberg4lem1  27480  selberg4  27481  pntrsumo1  27485  pntrsumbnd  27486  pntrsumbnd2  27487  selbergr  27488  selberg3r  27489  selberg4r  27490  pntsf  27493  pntsval2  27496  pntrlog2bndlem2  27498  pntrlog2bndlem4  27500  pntrlog2bndlem5  27501  pntrlog2bndlem6  27503  pntpbnd1  27506  pntpbnd2  27507  pntibndlem2  27511  pntlemn  27520  pntlemj  27523  pntlemk  27526  pntlemo  27527  ostth2lem2  27554  subfacval2  34733  subfaclim  34734  cvmliftlem6  34836  cvmliftlem7  34837  cvmliftlem8  34838  cvmliftlem9  34839  cvmliftlem10  34840  faclimlem1  35273  faclimlem2  35274  faclim2  35278  poimirlem29  37057  opnmbllem0  37064  pellexlem2  42172  hashnzfz2  43681  hashnzfzclim  43682  stoweidlem11  45322  stoweidlem26  45337  stoweidlem42  45353  stoweidlem59  45370  etransclem23  45568