Theorem ovprc1 7453

Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	⊢ Rel dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ovprc1	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
2		ovprc1.1	. . 3 ⊢ Rel dom 𝐹
3	2	ovprc 7452	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	1, 3	nsyl5 159	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469  ∅c0 4318  dom cdm 5672  Rel wrel 5677  (class class class)co 7414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-xp 5678  df-rel 5679  df-dm 5682  df-iota 6494  df-fv 6550  df-ov 7417

This theorem is referenced by:  mapssfset  8863  mapdom2  9166  relexpsucrd  15006  relexpsucld  15007  relexpreld  15013  relexpdmd  15017  relexprnd  15021  relexpfldd  15023  relexpaddd  15027  dfrtrclrec2  15031  relexpindlem  15036  oveqprc  17154  setsnidOLD  17172  ressbasOLD  17209  resslemOLD  17216  ressinbas  17219  ressress  17222  oduval  18273  oduleval  18274  gsum0  18637  efmndbas  18816  oppgval  19291  oppgplusfval  19292  mgpval  20070  opprval  20267  srasca  21062  srascaOLD  21063  rlmsca2  21085  dsmmval  21661  dsmmfi  21665  resspsrbas  21910  mpfrcl  22024  psrbaspropd  22146  mplbaspropd  22148  evl1fval1  22243  qtopres  23595  fgabs  23776  tnglemOLD  24543  tngds  24557  tngdsOLD  24558  tcphval  25139  erlval  32966  fracval  32984  resvsca  33035  resvlemOLD  33037  mapco2g  42106  mzpmfp  42139  mendbas  42580  naryfvalixp  47674  1aryenef  47690  2aryenef  47701