Theorem mplbaspropd 22154

Description: Property deduction for polynomial base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrplusgpropd.b1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
psrplusgpropd.b2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
psrplusgpropd.p	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
mplbaspropd	⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦,𝑥   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝑅,𝑥   𝑦,𝑆,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mplbaspropd

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrplusgpropd.b1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		psrplusgpropd.b2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑆))
3	1, 2	eqtr3d 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
4	3	psrbaspropd 22152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
6		psrplusgpropd.p	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑆)𝑦))
7	1, 2, 6	grpidpropd 18621	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑆))
8	7	breq2d 5160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 finSupp (0g‘𝑅) ↔ 𝑎 finSupp (0g‘𝑆)))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → (𝑎 finSupp (0g‘𝑅) ↔ 𝑎 finSupp (0g‘𝑆)))
10	5, 9	rabeqbidv 3446	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → {𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)} = {𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑆)})
11		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
12		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
13		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
14		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
16	11, 12, 13, 14, 15	mplbas 21931	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = {𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑅)}
17		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑆) = (𝐼 mPoly 𝑆)
18		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑆) = (𝐼 mPwSer 𝑆)
19		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
20		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
21		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆))
22	17, 18, 19, 20, 21	mplbas 21931	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)) = {𝑎 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) ∣ 𝑎 finSupp (0g‘𝑆)}
23	10, 16, 22	3eqtr4g 2793	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
24		reldmmpl 21929	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPoly
25	24	ovprc1 7459	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPoly 𝑅) = ∅)
26	24	ovprc1 7459	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPoly 𝑆) = ∅)
27	25, 26	eqtr4d 2771	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑆))
28	27	fveq2d 6901	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
29	28	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))
30	23, 29	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑆)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3429  Vcvv 3471  ∅c0 4323   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   finSupp cfsupp 9385  Basecbs 17179  +_gcplusg 17232  0_gc0g 17420   mPwSer cmps 21836   mPoly cmpl 21838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-tset 17251  df-0g 17422  df-psr 21841  df-mpl 21843

This theorem is referenced by:  ply1baspropd  22160  mdegpropd  26019