Theorem rrntotbnd 37309

Description: A set in Euclidean space is totally bounded iff its is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrntotbnd.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrntotbnd.2	⊢ 𝑀 = ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
rrntotbnd	⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Proof of Theorem rrntotbnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . 3 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)
2		eqid 2728	. . 3 ⊢ (dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) = (dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))
3		rrntotbnd.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
4	1, 2, 3	repwsmet 37307	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋))
5	3	rrnmet 37302	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
6		hashcl 14348	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
7		nn0re 12512	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
8		nn0ge0 12528	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝐼))
9	7, 8	resqrtcld 15397	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
11	7, 8	sqrtge0d 15400	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (√‘(♯‘𝐼)))
12	6, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 0 ≤ (√‘(♯‘𝐼)))
13	10, 12	ge0p1rpd 13079	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ+)
14		1rp 13011	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 1 ∈ ℝ+)
16		metcl 24251	. . . . 5 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∈ ℝ)
17	16	3expb 1118	. . . 4 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∈ ℝ)
18	5, 17	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∈ ℝ)
19	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
20	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋))
21		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
22		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
23		metcl 24251	. . . . . . 7 ⊢ (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ)
24		metge0 24264	. . . . . . 7 ⊢ (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))
25	23, 24	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
26	20, 21, 22, 25	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
27	26	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ)
28	19, 27	remulcld 11275	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ∈ ℝ)
29		peano2re 11418	. . . . . 6 ⊢ ((√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ)
30	10, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ)
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ)
32	31, 27	remulcld 11275	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ∈ ℝ)
33		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
34	1, 2, 3, 33	rrnequiv 37308	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≤ (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∧ (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))))
35	34	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
36	19	lep1d 12176	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (√‘(♯‘𝐼)) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) + 1))
37		lemul1a 12099	. . . 4 ⊢ ((((√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ ∧ ((√‘(♯‘𝐼)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦))) ∧ (√‘(♯‘𝐼)) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) + 1)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
38	19, 31, 26, 36, 37	syl31anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
39	18, 28, 32, 35, 38	letrd 11402	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) + 1) · (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦)))
40	34	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≤ (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦))
41	18	recnd 11273	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦) ∈ ℂ)
42	41	mullidd 11263	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (1 · (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦)) = (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦))
43	40, 42	breqtrrd 5176	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥(dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼))𝑦) ≤ (1 · (𝑥(ℝn‘𝐼)𝑦)))
44		eqid 2728	. 2 ⊢ ((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌))
45		rrntotbnd.2	. 2 ⊢ 𝑀 = ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))
46		ax-resscn 11196	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
47	1, 44	cnpwstotbnd 37270	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ ((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Bnd‘𝑌)))
48	46, 47	mpan 689	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ ((dist‘((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Bnd‘𝑌)))
49	4, 5, 13, 15, 39, 43, 44, 45, 48	equivbnd2 37265	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5148   × cxp 5676   ↾ cres 5680  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8845  Fincfn 8964  ℂcc 11137  ℝcr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   · cmul 11144   ≤ cle 11280  ℕ₀cn0 12503  ℝ⁺crp 13007  ♯chash 14322  √csqrt 15213   ↾_s cress 17209  distcds 17242   ↑_s cpws 17428  Metcmet 21265  ℂ_fldccnfld 21279  TotBndctotbnd 37239  Bndcbnd 37240  ℝⁿcrrn 37298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-ec 8727  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666  df-gz 16899  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-topgen 17425  df-prds 17429  df-pws 17431  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-xms 24239  df-ms 24240  df-totbnd 37241  df-bnd 37252  df-rrn 37299

This theorem is referenced by:  rrnheibor  37310