Theorem ovolf 25398

Description: The domain and codomain of the outer volume function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.) (Proof shortened by AV, 17-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ovolf	⊢ vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)

Proof of Theorem ovolf

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 13144	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
2	1	infex 9508	. . 3 ⊢ inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝑥 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ) ∈ V
3		df-ovol 25380	. . 3 ⊢ vol* = (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ↦ inf({𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑m ℕ)(𝑥 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}, ℝ*, < ))
4	2, 3	fnmpti 6692	. 2 ⊢ vol* Fn 𝒫 ℝ
5		elpwi 4605	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ)
6		ovolcl 25394	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑥) ∈ ℝ*)
7		ovolge0 25397	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘𝑥))
8		pnfge 13134	. . . . . 6 ⊢ ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ* → (vol*‘𝑥) ≤ +∞)
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑥) ≤ +∞)
10		0xr 11283	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
11		pnfxr 11290	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
12		elicc1 13392	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (vol*‘𝑥) ∧ (vol*‘𝑥) ≤ +∞)))
13	10, 11, 12	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ ((vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (vol*‘𝑥) ∧ (vol*‘𝑥) ≤ +∞))
14	6, 7, 9, 13	syl3anbrc 1341	. . . 4 ⊢ (𝑥 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
15	5, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → (vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
16	15	rgen 3058	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)
17		ffnfv 7123	. 2 ⊢ (vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞) ↔ (vol* Fn 𝒫 ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)))
18	4, 16, 17	mpbir2an 710	1 ⊢ vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  ∃wrex 3065  {crab 3427   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  𝒫 cpw 4598  ∪ cuni 4903   class class class wbr 5142   × cxp 5670  ran crn 5673   ∘ ccom 5676   Fn wfn 6537  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8836  supcsup 9455  infcinf 9456  ℝcr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133  +∞cpnf 11267  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11466  ℕcn 12234  (,)cioo 13348  [,]cicc 13351  seqcseq 13990  abscabs 15205  vol*covol 25378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-ovol 25380

This theorem is referenced by:  ismbl  25442  volf  25445  ovolfs2  25487  ismbl3  45297  ovolsplit  45299