Theorem cnfld0 21313

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 11413	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 21311	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 20171	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 11230	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 21276	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 21278	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 18925	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 229	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2737	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11130  0cc0 11132   + caddc 11135  0_gc0g 17414  Grpcgrp 18883  Ringcrg 20166  ℂ_fldccnfld 21272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-addf 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-cmn 19730  df-mgp 20068  df-ring 20168  df-cring 20169  df-cnfld 21273

This theorem is referenced by:  cnfldneg  21316  cndrng  21319  cndrngOLD  21320  cnflddiv  21321  cnflddivOLD  21322  cnfldinv  21323  cnfldmulg  21324  cnsubmlem  21340  cnsubdrglem  21344  absabv  21350  qsssubdrg  21352  cnmgpabl  21354  cnmsubglem  21356  gzrngunitlem  21358  gzrngunit  21359  gsumfsum  21360  expmhm  21362  nn0srg  21363  rge0srg  21364  zring0  21377  zringunit  21385  expghm  21394  psgninv  21507  zrhpsgnmhm  21509  re0g  21537  regsumsupp  21547  mhpsclcl  22064  mhpvarcl  22065  mhpmulcl  22066  cnfldnm  24688  clm0  24992  cphsubrglem  25098  cphreccllem  25099  tdeglem1  25984  tdeglem1OLD  25985  tdeglem3  25986  tdeglem3OLD  25987  tdeglem4  25988  tdeglem4OLD  25989  plypf1  26139  dvply2g  26212  dvply2gOLD  26213  tayl0  26289  taylpfval  26292  efsubm  26478  jensenlem2  26913  jensen  26914  amgmlem  26915  amgm  26916  dchrghm  27182  dchrabs  27186  sum2dchr  27200  lgseisenlem4  27304  qrng0  27547  1fldgenq  33003  xrge0slmod  33054  ccfldextdgrr  33350  zringnm  33553  rezh  33566  mhphflem  41823  fsumcnsrcl  42584  cnsrplycl  42585  rngunsnply  42591  proot1ex  42618  deg1mhm  42622  2zrng0  47300  amgmwlem  48229  amgmlemALT  48230