Theorem cndrngOLD 21320

Description: Obsolete version of cndrng 21319 as of 30-Apr-2025. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cndrngOLD	⊢ ℂfld ∈ DivRing

Proof of Theorem cndrngOLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21276	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
3		cnfldmul 21280	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → · = (.r‘ℂfld))
5		cnfld0 21313	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 = (0g‘ℂfld))
7		cnfld1 21314	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 = (1r‘ℂfld))
9		cnring 21311	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ Ring)
11		mulne0 11880	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
12	11	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 · 𝑦) ≠ 0)
13		ax-1ne0 11201	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 0)
15		reccl 11903	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
17		recid2 11911	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((1 / 𝑥) · 𝑥) = 1)
18	17	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → ((1 / 𝑥) · 𝑥) = 1)
19	2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18	isdrngd 20650	. 2 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ DivRing)
20	19	mptru 1541	1 ⊢ ℂfld ∈ DivRing

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1534  ⊤wtru 1535   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11130  0cc0 11132  1c1 11133   · cmul 11137   / cdiv 11895  Basecbs 17173  ._rcmulr 17227  0_gc0g 17414  1_rcur 20114  Ringcrg 20166  DivRingcdr 20617  ℂ_fldccnfld 21272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-addf 11211  ax-mulf 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-dvr 20333  df-drng 20619  df-cnfld 21273

This theorem is referenced by: (None)