Theorem wrdf 14495

Description: A word is a zero-based sequence with a recoverable upper limit. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
wrdf	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Proof of Theorem wrdf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswrd 14492	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆)
3		fnfzo0hash 14435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (♯‘𝑊) = 𝑙)
4	3	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑙))
5	4	feq2d 6702	. . . 4 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆))
6	2, 5	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑙 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
7	6	rexlimiva 3142	. 2 ⊢ (∃𝑙 ∈ ℕ0 𝑊:(0..^𝑙)⟶𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
8	1, 7	sylbi 216	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3065  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  ℕ₀cn0 12496  ..^cfzo 13653  ♯chash 14315  Word cword 14490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-hash 14316  df-word 14491

This theorem is referenced by:  iswrdb  14496  wrddm  14497  wrdsymbcl  14503  wrdfn  14504  wrdffz  14511  0wrd0  14516  wrdsymb  14518  wrdnval  14521  wrdred1  14536  wrdred1hash  14537  ccatcl  14550  ccatalpha  14569  s1dm  14584  swrdcl  14621  swrdf  14626  swrdwrdsymb  14638  pfxres  14655  cats1un  14697  revcl  14737  revlen  14738  revrev  14743  repsdf2  14754  cshwf  14776  cshinj  14787  wrdco  14808  lenco  14809  revco  14811  ccatco  14812  lswco  14816  s2dm  14867  wwlktovf  14933  ofccat  14942  gsumwsubmcl  18782  gsumsgrpccat  18785  gsumwmhm  18790  frmdss2  18808  symgtrinv  19420  psgnunilem5  19442  psgnunilem2  19443  psgnunilem3  19444  efginvrel1  19676  efgsf  19677  efgsrel  19682  efgs1b  19684  efgredlemf  19689  efgredlemd  19692  efgredlemc  19693  efgredlem  19695  frgpup3lem  19725  pgpfaclem1  20031  ablfaclem2  20036  ablfaclem3  20037  ablfac2  20039  dchrptlem1  27190  dchrptlem2  27191  trgcgrg  28312  tgcgr4  28328  wrdupgr  28891  wrdumgr  28903  vdegp1ai  29343  vdegp1bi  29344  wlkres  29477  wlkp1  29488  wlkdlem1  29489  trlf1  29505  trlreslem  29506  upgrwlkdvdelem  29543  pthdlem1  29573  pthdlem2lem  29574  uspgrn2crct  29612  wlkiswwlks2lem3  29675  wlkiswwlksupgr2  29681  clwlkclwwlklem2a  29801  clwlkclwwlklem2  29803  1wlkdlem1  29940  wlk2v2e  29960  eucrctshift  30046  konigsbergssiedgw  30053  wrdfd  32653  wrdres  32654  pfxf1  32659  s3f1  32664  ccatf1  32666  swrdrn3  32670  cycpmcl  32831  tocyc01  32833  cycpmco2rn  32840  cycpmrn  32858  tocyccntz  32859  cycpmconjslem2  32870  sseqf  34002  fiblem  34008  ofcccat  34165  signstcl  34187  signstf  34188  signstfvn  34191  signsvtn0  34192  signstres  34197  signsvtp  34205  signsvtn  34206  signsvfpn  34207  signsvfnn  34208  signshf  34210  revwlk  34724  mvrsfpw  35106  frlmfzowrdb  41716  amgm2d  43600  amgm3d  43601  amgm4d  43602  lswn0  46756  amgmw2d  48209