Theorem tgcgrxfr 28309

Description: A line segment can be divided at the same place as a congruent line segment is divided. Theorem 4.5 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgcgrxfr.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgcgrxfr.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgcgrxfr.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgcgrxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
tgcgrxfr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgcgrxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgcgrxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgcgrxfr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgcgrxfr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrxfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgcgrxfr.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgcgrxfr.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
tgcgrxfr	⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑒   𝐵,𝑒   𝐶,𝑒   𝐷,𝑒   𝑒,𝐹   𝑒,𝐼   𝑃,𝑒   − ,𝑒   ∼ ,𝑒   𝜑,𝑒

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑒)

Proof of Theorem tgcgrxfr

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcgrxfr.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ 𝑃)
3		tgcgrxfr.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		tgcgrxfr.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		tgcgrxfr.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		tgcgrxfr.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		tgcgrxfr.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		tgcgrxfr.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐹 ∈ 𝑃)
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (♯‘𝑃) = 1)
13	3, 4, 5, 7, 2, 9, 11, 12	tgldim0itv 28295	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
14		tgcgrxfr.r	. . . 4 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
15		tgcgrxfr.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐵 ∈ 𝑃)
17		tgcgrxfr.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝐶 ∈ 𝑃)
19	3, 4, 5, 7, 2, 16, 9, 12, 2	tgldim0cgr 28296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐴))
20	3, 4, 5, 7, 16, 18, 2, 12, 11	tgldim0cgr 28296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐴 − 𝐹))
21	3, 4, 5, 7, 18, 2, 11, 12, 9	tgldim0cgr 28296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
22	3, 4, 14, 7, 2, 16, 18, 9, 2, 11, 19, 20, 21	trgcgr 28307	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)
23		eleq1 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐴 → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ↔ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
24		s3eq2 14845	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐴 → ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩ = ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)
25	24	breq2d 5154	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐴 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩))
26	23, 25	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑒 = 𝐴 → ((𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩) ↔ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)))
27	26	rspcev 3607	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
28	2, 13, 22, 27	syl12anc 836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
29	6	ad3antrrr 729	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
30		simplr 768	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝑔 ∈ 𝑃)
31	8	ad3antrrr 729	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
32	1	ad3antrrr 729	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
33	15	ad3antrrr 729	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
34	3, 4, 5, 29, 30, 31, 32, 33	axtgsegcon 28255	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵)))
35	6	ad7antr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
36	30	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑔 ∈ 𝑃)
37	36	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑔 ∈ 𝑃)
38	8	ad7antr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
39		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑒 ∈ 𝑃)
40	39	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑒 ∈ 𝑃)
41		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑓 ∈ 𝑃)
42		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵)))
43	42	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒))
44		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓))
45	3, 4, 5, 35, 37, 38, 40, 41, 43, 44	tgbtwnexch3 28285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝑓))
46	1	ad7antr 737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
47	17	ad7antr 737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
48	10	ad7antr 737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
49		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))
50	49	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ≠ 𝑔)
51	50	necomd 2991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑔 ≠ 𝐷)
52	3, 4, 5, 35, 37, 38, 40, 41, 43, 44	tgbtwnexch 28289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑓))
53	49	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔))
54	3, 4, 5, 35, 48, 38, 37, 53	tgbtwncom 28279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝐹))
55	15	ad7antr 737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
56		tgcgrxfr.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
57	56	ad7antr 737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
58	42	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))
59		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))
60	3, 4, 5, 35, 38, 40, 41, 46, 55, 47, 45, 57, 58, 59	tgcgrextend 28276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 − 𝑓) = (𝐴 − 𝐶))
61		tgcgrxfr.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
62	61	ad7antr 737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
63	62	eqcomd 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 − 𝐹) = (𝐴 − 𝐶))
64	3, 4, 5, 35, 38, 46, 47, 37, 41, 48, 51, 52, 54, 60, 63	tgsegconeq 28277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑓 = 𝐹)
65	64	oveq2d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷𝐼𝑓) = (𝐷𝐼𝐹))
66	45, 65	eleqtrd 2830	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
67	58	eqcomd 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝑒))
68	64	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑒 − 𝑓) = (𝑒 − 𝐹))
69	59, 68	eqtr3d 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝑒 − 𝐹))
70	3, 4, 5, 6, 1, 17, 8, 10, 61	tgcgrcomlr 28271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
71	70	ad7antr 737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
72	3, 4, 14, 35, 46, 55, 47, 38, 40, 48, 67, 69, 71	trgcgr 28307	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)
73	66, 72	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
74	29	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
75	33	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
76	17	ad5antr 733	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
77	3, 4, 5, 74, 36, 39, 75, 76	axtgsegcon 28255	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))
78	73, 77	r19.29a 3157	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
79	78	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) → ((𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵)) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)))
80	79	reximdva 3163	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → (∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)))
81	34, 80	mpd 15	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
82	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
83	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
84	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
85		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
86	3, 4, 5, 82, 83, 84, 85	tgbtwndiff 28297	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑔 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))
87	81, 86	r19.29a 3157	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
88	3, 1	tgldimor 28293	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
89	28, 87, 88	mpjaodan 957	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∃wrex 3065   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11131   ≤ cle 11271  2c2 12289  ♯chash 14313  ⟨“cs3 14817  Basecbs 17171  distcds 17233  TarskiGcstrkg 28218  Itvcitv 28224  cgrGccgrg 28301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-concat 14545  df-s1 14570  df-s2 14823  df-s3 14824  df-trkgc 28239  df-trkgb 28240  df-trkgcb 28241  df-trkg 28244  df-cgrg 28302

This theorem is referenced by:  tgbtwnxfr  28321  lnext  28358  midexlem  28483