Theorem subsub 11514

Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 13-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
subsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))

Proof of Theorem subsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subsub2 11512	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = (𝐴 + (𝐶 − 𝐵)))
2		addsubass 11494	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶) − 𝐵) = (𝐴 + (𝐶 − 𝐵)))
3		addsub 11495	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶) − 𝐵) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))
4	2, 3	eqtr3d 2769	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐶 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))
5	4	3com23 1124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐶 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))
6	1, 5	eqtrd 2767	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414  ℂcc 11130   + caddc 11135   − cmin 11468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-ltxr 11277  df-sub 11470

This theorem is referenced by:  nppcan2  11515  pnncan  11525  subneg  11533  negsubdi  11540  subsubd  11623  peano5uzi  12675  swrd2lsw  14929  bpoly2  16027  bpoly3  16028  fsumcube  16030  divalglem0  16363  chtublem  27137  bposlem6  27215  ax5seglem7  28739  crctcshwlkn0lem1  29614  dpmul4  32631  fmtnorec3  46860