Theorem subggrp 19084

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subggrp	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	issubg 19081	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
4	3	simp3bi 1145	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	1, 4	eqeltrid 2833	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180   ↾_s cress 17209  Grpcgrp 18890  SubGrpcsubg 19075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-ov 7423  df-subg 19078

This theorem is referenced by:  subg0  19087  subginv  19088  subg0cl  19089  subginvcl  19090  subgcl  19091  issubg2  19096  issubgrpd  19098  subsubg  19104  resghm  19186  resghm2b  19188  subgga  19251  gasubg  19253  odsubdvds  19526  pgp0  19551  subgpgp  19552  sylow2blem2  19576  slwhash  19579  fislw  19580  subglsm  19628  pj1ghm  19658  subgabl  19791  cntrabl  19798  cycsubgcyg  19856  subgdmdprd  19991  subgdprd  19992  ablfacrplem  20022  pgpfaclem1  20038  pgpfaclem3  20040  ablfaclem3  20044  issubrg2  20531  subdrgint  20691  islss3  20843  zringcyg  21395  cnmsgngrp  21511  psgnghm  21512  mplgrp  21959  scmatghm  22448  subgtgp  24022  subgngp  24557  reefgim  26400  ressply1sub  33255  amgmlemALT  48236