Theorem subginvcl 19090

Description: The inverse of an element is closed in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subginvcl.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subginvcl	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subginvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	subggrp 19084	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
4	1	subgbas 19085	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
6	3, 5	eleqtrd 2831	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
7		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
8		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (invg‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (invg‘(𝐺 ↾s 𝑆))
9	7, 8	grpinvcl 18944	. . 3 ⊢ (((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))) → ((invg‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
10	2, 6, 9	syl2an2r 684	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((invg‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
11		subginvcl.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
12	1, 11, 8	subginv 19088	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑋) = ((invg‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘𝑋))
13	10, 12, 5	3eltr4d 2844	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180   ↾_s cress 17209  Grpcgrp 18890  inv_gcminusg 18891  SubGrpcsubg 19075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-subg 19078

This theorem is referenced by:  subgsubcl  19092  subgmulgcl  19094  issubg2  19096  subgint  19105  ssnmz  19121  eqger  19133  ghmpreima  19192  lsmelvalm  19606  lsmsubg  19609  lsmmod  19630  lsmdisj2  19637  dprdfinv  19976  cntzsdrg  20690  cphsqrtcl3  25128  taylply2  26315  taylply2OLD  26316  grplsmid  33126  nsgmgclem  33134  nsgqusf1olem1  33136  lbsdiflsp0  33324  nelsubginvcld  41736  nelsubgsubcld  41738  rngunsnply  42597