Theorem sqrtf 15336

Description: Mapping domain and codomain of the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtf	⊢ √:ℂ⟶ℂ

Proof of Theorem sqrtf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		riotaex 7374	. . 3 ⊢ (℩𝑦 ∈ ℂ ((𝑦↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)) ∈ V
2		df-sqrt 15208	. . 3 ⊢ √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (℩𝑦 ∈ ℂ ((𝑦↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑦) ∧ (i · 𝑦) ∉ ℝ+)))
3	1, 2	fnmpti 6692	. 2 ⊢ √ Fn ℂ
4		sqrtcl 15334	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
5	4	rgen 3058	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ (√‘𝑥) ∈ ℂ
6		ffnfv 7123	. 2 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ ↔ (√ Fn ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ (√‘𝑥) ∈ ℂ))
7	3, 5, 6	mpbir2an 710	1 ⊢ √:ℂ⟶ℂ

Syntax hints:   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∉ wnel 3041  ∀wral 3056   class class class wbr 5142   Fn wfn 6537  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  ℩crio 7369  (class class class)co 7414  ℂcc 11130  0cc0 11132  ici 11134   · cmul 11137   ≤ cle 11273  2c2 12291  ℝ⁺crp 13000  ↑cexp 14052  ℜcre 15070  √csqrt 15206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209

This theorem is referenced by:  cphsqrtcl  25105  tcphex  25138  tchnmfval  25149  tcphcph  25158  resqrtcn  26677  sqrtcn  26678  loglesqrt  26686  ex-fpar  30265  rpsqrtcn  34215  ftc1anclem3  37157  rrnval  37289