Theorem pncan 11490

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pncan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 11440	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
4		addcl 11214	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		subadd 11487	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
6	4, 1, 2, 5	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵)))
7	3, 6	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414  ℂcc 11130   + caddc 11135   − cmin 11468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-ltxr 11277  df-sub 11470

This theorem is referenced by:  pncan2  11491  addsubass  11494  pncan3oi  11500  subid1  11504  nppcan2  11515  pncand  11596  nn1m1nn  12257  nnsub  12280  elnn0nn  12538  elz2  12600  zrevaddcl  12631  nzadd  12634  qrevaddcl  12979  irradd  12981  fzrev3  13593  elfzp1b  13604  fzrevral3  13614  fzval3  13727  seqf1olem1  14032  seqf1olem2  14033  bcp1nk  14302  bcp1m1  14305  bcpasc  14306  hashbclem  14437  ccatalpha  14569  wrdind  14698  wrd2ind  14699  2cshwcshw  14802  shftlem  15041  shftval5  15051  isershft  15636  isercoll2  15641  mptfzshft  15750  telfsumo  15774  fsumparts  15778  bcxmas  15807  isum1p  15813  geolim  15842  mertenslem2  15857  mertens  15858  fsumkthpow  16026  eftlub  16079  effsumlt  16081  eirrlem  16174  dvdsadd  16272  prmind2  16649  iserodd  16797  fldivp1  16859  prmpwdvds  16866  pockthlem  16867  prmreclem4  16881  prmreclem6  16883  4sqlem11  16917  vdwapun  16936  ramub1lem1  16988  ramcl  16991  efgsval2  19681  efgsrel  19682  shft2rab  25430  uniioombllem3  25507  uniioombllem4  25508  dvexp  25878  dvfsumlem1  25953  degltp1le  26002  ply1divex  26065  plyaddlem1  26140  plymullem1  26141  dvply1  26211  dvply2g  26212  dvply2gOLD  26213  vieta1lem2  26239  aaliou3lem7  26277  dvradcnv  26350  pserdvlem2  26358  abssinper  26448  advlogexp  26582  atantayl3  26864  leibpilem2  26866  emcllem2  26922  harmonicbnd4  26936  basellem8  27013  ppiprm  27076  ppinprm  27077  chtprm  27078  chtnprm  27079  chpp1  27080  chtub  27138  perfectlem1  27155  perfectlem2  27156  perfect  27157  bcp1ctr  27205  lgsvalmod  27242  lgseisen  27305  lgsquadlem1  27306  lgsquad2lem1  27310  2sqlem10  27354  rplogsumlem1  27410  selberg2lem  27476  logdivbnd  27482  pntrsumo1  27491  pntpbnd2  27513  clwwlkf1  29852  subfacp1lem5  34784  subfacp1lem6  34785  subfacval2  34787  subfaclim  34788  cvmliftlem7  34891  cvmliftlem10  34894  mblfinlem2  37120  itg2addnclem3  37135  fdc  37207  mettrifi  37219  heiborlem4  37276  heiborlem6  37278  lzenom  42162  2nn0ind  42338  jm2.17a  42353  jm2.17b  42354  jm2.17c  42355  evensumeven  47019  perfectALTVlem2  47034  perfectALTV  47035