Theorem subadd 11488

Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem subadd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 11476	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2	1	eqeq1d 2730	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
3	2	3adant3 1130	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
4		negeu 11475	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
5		oveq2 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 𝐶))
6	5	eqeq1d 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))
7	6	riota2 7397	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
8	4, 7	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ)) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
9	8	3impb 1113	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
10	9	3com13 1122	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
11	3, 10	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃!wreu 3370  ℩crio 7370  (class class class)co 7415  ℂcc 11131   + caddc 11136   − cmin 11469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-ltxr 11278  df-sub 11471

This theorem is referenced by:  subadd2  11489  subsub23  11490  pncan  11491  pncan3  11493  addsubeq4  11500  subsub2  11513  renegcli  11546  subaddi  11572  subaddd  11614  fzen  13545  nn0ennn  13971  hashssdif  14398  cos2t  16149  cos2tsin  16150  odd2np1  16312  divalglem4  16367  divalglem8  16371  divalgb  16375  mplmonmul  21968  sincosq1eq  26441  coskpi  26451  sto2i  32041  tan2h  37080  poimirlem31  37119  fdc  37213  fppr2odd  47062