Theorem mamulid 22356

Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a left identity (for any matrix with the same number of rows). (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamumat1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mamumat1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mamumat1cl.i	⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamulid.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamulid.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑀, 𝑁⟩)
mamulid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
mamulid	⊢ (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   0 ,𝑖,𝑗   1 ,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗)   𝐹(𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)   𝑁(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mamulid

Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamulid.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑀, 𝑁⟩)
2		mamumat1cl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mamumat1cl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
6		mamumat1cl.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑀 ∈ Fin)
8		mamulid.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
10		mamumat1cl.o	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
11		mamumat1cl.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12		mamumat1cl.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
13	2, 4, 10, 11, 12, 6	mamumat1cl 22354	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))
15		mamulid.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
17		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑙 ∈ 𝑀)
18		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑁)
19	1, 2, 3, 5, 7, 7, 9, 14, 16, 17, 18	mamufv 22302	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))))
20		ringmnd 20183	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
21	5, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Mnd)
22	4	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
23		elmapi 8868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
24	13, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
25	24	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
26		simplrl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝑙 ∈ 𝑀)
27		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝑚 ∈ 𝑀)
28	25, 26, 27	fovcdmd 7593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑙𝐼𝑚) ∈ 𝐵)
29		elmapi 8868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
30	15, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
31	30	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
32		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑁)
33	31, 27, 32	fovcdmd 7593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑚𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
34	2, 3	ringcl 20190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝐼𝑚) ∈ 𝐵 ∧ (𝑚𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) ∈ 𝐵)
35	22, 28, 33, 34	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) ∈ 𝐵)
36	35	fmpttd 7125	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘))):𝑀⟶𝐵)
37	26	3adant3 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → 𝑙 ∈ 𝑀)
38		simp2 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → 𝑚 ∈ 𝑀)
39	2, 4, 10, 11, 12, 6	mat1comp 22355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑙𝐼𝑚) = if(𝑙 = 𝑚, 1 , 0 ))
40		equcom 2014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = 𝑚 ↔ 𝑚 = 𝑙)
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑙 = 𝑚 ↔ 𝑚 = 𝑙))
42	41	ifbid 4552	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → if(𝑙 = 𝑚, 1 , 0 ) = if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ))
43	39, 42	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → (𝑙𝐼𝑚) = if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ))
44	37, 38, 43	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → (𝑙𝐼𝑚) = if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ))
45		ifnefalse 4541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ≠ 𝑙 → if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ) = 0 )
46	45	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → if(𝑚 = 𝑙, 1 , 0 ) = 0 )
47	44, 46	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → (𝑙𝐼𝑚) = 0 )
48	47	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = ( 0 (.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))
49	2, 3, 11	ringlz 20229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑚𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
50	22, 33, 49	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
51	50	3adant3 1130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
52	48, 51	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀 ∧ 𝑚 ≠ 𝑙) → ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = 0 )
53	52, 7	suppsssn 8207	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘))) supp 0 ) ⊆ {𝑙})
54	2, 11, 21, 7, 17, 36, 53	gsumpt 19917	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))) = ((𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙))
55		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → (𝑙𝐼𝑚) = (𝑙𝐼𝑙))
56		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → (𝑚𝑋𝑘) = (𝑙𝑋𝑘))
57	55, 56	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)) = ((𝑙𝐼𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
58		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘))) = (𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))
59		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑙𝐼𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) ∈ V
60	57, 58, 59	fvmpt 7005	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑀 → ((𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙) = ((𝑙𝐼𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
61	60	ad2antrl 727	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙) = ((𝑙𝐼𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
62		equequ1 2021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑙 = 𝑗))
63	62	ifbid 4552	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑙 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑙 = 𝑗, 1 , 0 ))
64		equequ2 2022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑙 = 𝑗 ↔ 𝑙 = 𝑙))
65	64	ifbid 4552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → if(𝑙 = 𝑗, 1 , 0 ) = if(𝑙 = 𝑙, 1 , 0 ))
66		equid 2008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑙 = 𝑙
67	66	iftruei 4536	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(𝑙 = 𝑙, 1 , 0 ) = 1
68	65, 67	eqtrdi 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → if(𝑙 = 𝑗, 1 , 0 ) = 1 )
69	10	fvexi 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
70	63, 68, 12, 69	ovmpo 7581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑙 ∈ 𝑀) → (𝑙𝐼𝑙) = 1 )
71	70	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑀 → (𝑙𝐼𝑙) = 1 )
72	71	ad2antrl 727	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑙𝐼𝑙) = 1 )
73	72	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑙𝐼𝑙)(.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)))
74	30	fovcdmda 7592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
75	2, 3, 10	ringlidm 20205	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑙𝑋𝑘) ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) = (𝑙𝑋𝑘))
76	5, 74, 75	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑙𝑋𝑘)) = (𝑙𝑋𝑘))
77	61, 73, 76	3eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → ((𝑚 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑙𝐼𝑚)(.r‘𝑅)(𝑚𝑋𝑘)))‘𝑙) = (𝑙𝑋𝑘))
78	19, 54, 77	3eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝑀 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁)) → (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘))
79	78	ralrimivva 3197	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘))
80	2, 4, 1, 6, 6, 8, 13, 15	mamucl 22314	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
81		elmapi 8868	. . . . 5 ⊢ ((𝐼𝐹𝑋) ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → (𝐼𝐹𝑋):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
82	80, 81	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋):(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
83	82	ffnd 6723	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) Fn (𝑀 × 𝑁))
84	30	ffnd 6723	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁))
85		eqfnov2 7551	. . 3 ⊢ (((𝐼𝐹𝑋) Fn (𝑀 × 𝑁) ∧ 𝑋 Fn (𝑀 × 𝑁)) → ((𝐼𝐹𝑋) = 𝑋 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘)))
86	83, 84, 85	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼𝐹𝑋) = 𝑋 ↔ ∀𝑙 ∈ 𝑀 ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑙(𝐼𝐹𝑋)𝑘) = (𝑙𝑋𝑘)))
87	79, 86	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝐹𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ifcif 4529  ⟨cotp 4637   ↦ cmpt 5231   × cxp 5676   Fn wfn 6543  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422   ↑_m cmap 8845  Fincfn 8964  Basecbs 17180  ._rcmulr 17234  0_gc0g 17421   Σ_g cgsu 17422  Mndcmnd 18694  1_rcur 20121  Ringcrg 20173   maMul cmmul 22298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-mamu 22299

This theorem is referenced by:  matring  22358  mat1  22362