Theorem fovcdmd 7597

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovcdmd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
fovcdmd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fovcdmd	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcdmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcdmd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovcdmd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		fovcdmd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		fovcdm 7595	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   × cxp 5678  ⟶wf 6547  (class class class)co 7424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-fv 6559  df-ov 7427

This theorem is referenced by:  eroveu  8835  fseqenlem1  10053  rlimcn2  15573  homarel  18030  curf1cl  18225  curf2cl  18228  hofcllem  18255  yonedalem3b  18276  gasubg  19258  gacan  19261  gapm  19262  gastacos  19266  orbsta  19269  galactghm  19364  sylow1lem2  19559  sylow2alem2  19578  sylow3lem1  19587  efgcpbllemb  19715  frgpuplem  19732  frlmbas3  21715  mamucl  22319  mamuass  22320  mamudi  22321  mamudir  22322  mamuvs1  22323  mamuvs2  22324  mamulid  22361  mamurid  22362  mamutpos  22378  matgsumcl  22380  mavmulcl  22467  mavmulass  22469  mdetleib2  22508  mdetf  22515  mdetdiaglem  22518  mdetrlin  22522  mdetrsca  22523  mdetralt  22528  mdetunilem7  22538  maducoeval2  22560  madugsum  22563  madurid  22564  tsmsxplem2  24076  isxmet2d  24251  ismet2  24257  prdsxmetlem  24292  comet  24440  ipcn  25192  ovoliunlem2  25450  itg1addlem4  25646  itg1addlem4OLD  25647  itg1addlem5  25648  mbfi1fseqlem5  25667  limccnp2  25839  midcl  28599  fedgmullem2  33333  pstmxmet  33503  cvmlift2lem9  34926  isbnd3  37262  prdsbnd  37271  iscringd  37476  rmxycomplete  42341  rmxyadd  42345  2arympt  47773