Theorem mamumat1cl 22335

Description: The identity matrix (as operation in maps-to notation) is a matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamumat1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamumat1cl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mamumat1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mamumat1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mamumat1cl.i	⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
mamumat1cl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
mamumat1cl	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐵   𝑖,𝑀,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑗)   1 (𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)   0 (𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mamumat1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamumat1cl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		mamumat1cl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		mamumat1cl.o	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 20196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
5		mamumat1cl.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	2, 5	ring0cl 20197	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
7	4, 6	ifcld 4571	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑀 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀)) → if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
10	9	ralrimivva 3196	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵)
11		mamumat1cl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ))
12	11	fmpo 8067	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑀 ∀𝑗 ∈ 𝑀 if(𝑖 = 𝑗, 1 , 0 ) ∈ 𝐵 ↔ 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
13	10, 12	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵)
14	2	fvexi 6906	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		mamumat1cl.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
16		xpfi 9336	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ Fin) → (𝑀 × 𝑀) ∈ Fin)
17	15, 15, 16	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑀) ∈ Fin)
18		elmapg 8852	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (𝑀 × 𝑀) ∈ Fin) → (𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)) ↔ 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵))
19	14, 17, 18	sylancr 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)) ↔ 𝐼:(𝑀 × 𝑀)⟶𝐵))
20	13, 19	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3057  Vcvv 3470  ifcif 4525   × cxp 5671  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415   ∈ cmpo 7417   ↑_m cmap 8839  Fincfn 8958  Basecbs 17174  0_gc0g 17415  1_rcur 20115  Ringcrg 20167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18887  df-mgp 20069  df-ur 20116  df-ring 20169

This theorem is referenced by:  mamulid  22337  mamurid  22338  matring  22339  mat1  22343