Theorem isngp2 24493

Description: The property of being a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isngp.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
isngp.z	⊢ − = (-g‘𝐺)
isngp.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
isngp2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
isngp2.e	⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
isngp2	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸))

Proof of Theorem isngp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isngp.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		isngp.z	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3		isngp.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
4	1, 2, 3	isngp 24492	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
5		isngp2.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
6		resss 6004	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ⊆ 𝐷
7	5, 6	eqsstri 4012	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝐷
8		sseq1 4003	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∘ − ) = 𝐸 → ((𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷 ↔ 𝐸 ⊆ 𝐷))
9	7, 8	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∘ − ) = 𝐸 → (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷)
10		isngp2.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
11	3	reseq1i 5975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
12	5, 11	eqtri 2755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
13	10, 12	msmet 24350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐸 ∈ (Met‘𝑋))
14	1, 10, 3, 5	nmf2 24489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
15	13, 14	sylan2 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
16	10, 2	grpsubf 18966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
17	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
18		fco 6741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
19	15, 17, 18	syl2an2r 684	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
20	19	fdmd 6727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → dom (𝑁 ∘ − ) = (𝑋 × 𝑋))
21	20	reseq2d 5979	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 ∘ − )) = (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)))
22	10, 12	msf 24351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
23	22	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → 𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
24	23	ffund 6720	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → Fun 𝐸)
25		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷)
26		ssv 4002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ V
27		fss 6733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ V) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶V)
28	19, 26, 27	sylancl 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶V)
29		fssxp 6745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶V → (𝑁 ∘ − ) ⊆ ((𝑋 × 𝑋) × V))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) ⊆ ((𝑋 × 𝑋) × V))
31	25, 30	ssind 4228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) ⊆ (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V)))
32		df-res 5684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V))
33	5, 32	eqtri 2755	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝐷 ∩ ((𝑋 × 𝑋) × V))
34	31, 33	sseqtrrdi 4029	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐸)
35		funssres 6591	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐸) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 ∘ − )) = (𝑁 ∘ − ))
36	24, 34, 35	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ dom (𝑁 ∘ − )) = (𝑁 ∘ − ))
37		ffn 6716	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → 𝐸 Fn (𝑋 × 𝑋))
38		fnresdm 6668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐸)
39	23, 37, 38	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝐸 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐸)
40	21, 36, 39	3eqtr3d 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) → (𝑁 ∘ − ) = 𝐸)
41	40	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷 → (𝑁 ∘ − ) = 𝐸))
42	9, 41	impbid2 225	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) → ((𝑁 ∘ − ) = 𝐸 ↔ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
43	42	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
44		df-3an 1087	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸))
45		df-3an 1087	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp) ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
46	43, 44, 45	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) ⊆ 𝐷))
47	4, 46	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ (𝑁 ∘ − ) = 𝐸))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944   × cxp 5670  dom cdm 5672   ↾ cres 5674   ∘ ccom 5676  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  ℝcr 11129  Basecbs 17171  distcds 17233  Grpcgrp 18881  -_gcsg 18883  Metcmet 21252  MetSpcms 24211  normcnm 24472  NrmGrpcngp 24473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-0g 17414  df-topgen 17416  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-xms 24213  df-ms 24214  df-nm 24478  df-ngp 24479

This theorem is referenced by:  isngp3  24494  ngpds  24500  ngppropd  24533  nrmtngdist  24561