Theorem hash0 14359

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (♯‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 5307	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 14355	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((♯‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 230	1 ⊢ (♯‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471  ∅c0 4323  ‘cfv 6548  0cc0 11139  ♯chash 14322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-hash 14323

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  14364  hashrabsn01  14365  hashrabsn1  14366  hashge0  14379  elprchashprn2  14388  hash1  14396  hashsn01  14408  hashgt12el  14414  hashgt12el2  14415  hashfzo  14421  hashfzp1  14423  hashxplem  14425  hashmap  14427  hashbc  14445  hashf1lem2  14450  hashf1  14451  hash2pwpr  14470  wrdnfi  14531  lsw0g  14549  ccatlid  14569  ccatrid  14570  rev0  14747  repswsymballbi  14763  fsumconst  15769  incexclem  15815  incexc  15816  fprodconst  15955  sumodd  16365  hashgcdeq  16758  prmreclem4  16888  prmreclem5  16889  0hashbc  16976  ramz2  16993  cshws0  17071  psgnunilem2  19450  psgnunilem4  19452  psgn0fv0  19466  psgnsn  19475  psgnprfval1  19477  efginvrel2  19682  efgredleme  19698  efgcpbllemb  19710  frgpnabllem1  19828  gsumconst  19889  ltbwe  21982  fta1g  26117  fta1  26256  birthdaylem3  26898  ppi1  27109  musum  27136  rpvmasum  27472  umgrislfupgrlem  28948  lfuhgr1v0e  29080  vtxdg0e  29301  vtxdlfgrval  29312  rusgr1vtxlem  29414  wspn0  29748  rusgrnumwwlkl1  29792  rusgr0edg  29797  clwwlknonel  29918  clwwlknon1le1  29924  0ewlk  29937  0wlk  29939  0wlkon  29943  0pth  29948  0clwlk  29953  0crct  29956  0cycl  29957  eupth0  30037  eulerpathpr  30063  wlkl0  30190  f1ocnt  32583  hashxpe  32589  lvecdim0  33304  esumcst  33682  cntmeas  33845  ballotlemfval0  34115  signsvtn0  34202  signstfvneq0  34204  signstfveq0  34209  signsvf0  34212  lpadright  34316  derangsn  34780  subfacp1lem6  34795  poimirlem25  37118  poimirlem26  37119  poimirlem27  37120  poimirlem28  37121  rp-isfinite6  42948  fzisoeu  44682  upwordnul  46266