Theorem estrcid 18117

Description: The identity arrow in the category of extensible structures is the identity function of base sets. (Contributed by AV, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
estrccat.c	⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
estrcid.o	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
estrcid.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
estrcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
estrcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))

Proof of Theorem estrcid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		estrcid.o	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
2		estrcid.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		estrccat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
4	3	estrccatid 18115	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥)))))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥)))))
6	5	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥))))
7	1, 6	eqtrid 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥))))
8		fveq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (Base‘𝑥) = (Base‘𝑋))
9	8	reseq2d 5979	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ( I ↾ (Base‘𝑥)) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
11		estrcid.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
12		fvexd 6906	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑋) ∈ V)
13	12	resiexd 7222	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ V)
14	7, 10, 11, 13	fvmptd 7006	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   ↦ cmpt 5225   I cid 5569   ↾ cres 5674  ‘cfv 6542  Basecbs 17173  Catccat 17637  Idccid 17638  ExtStrCatcestrc 18105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-hom 17250  df-cco 17251  df-cat 17641  df-cid 17642  df-estrc 18106

This theorem is referenced by:  funcestrcsetclem7  18130  funcsetcestrclem7  18145  rnghmsubcsetclem1  20557  rngcid  20561  rhmsubcsetclem1  20586  ringcid  20590