Theorem decaddi 12768

Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decaddi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decaddi.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decaddi.4	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decaddi.5	⊢ (𝐵 + 𝑁) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
decaddi	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐴𝐶

Proof of Theorem decaddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decaddi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decaddi.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		0nn0 12518	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		decaddi.3	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
5		decaddi.4	. 2 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
6	4	dec0h 12730	. 2 ⊢ 𝑁 = ;0𝑁
7	1	nn0cni 12515	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
8	7	addridi 11432	. 2 ⊢ (𝐴 + 0) = 𝐴
9		decaddi.5	. 2 ⊢ (𝐵 + 𝑁) = 𝐶
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9	decadd 12762	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐴𝐶

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7420  0cc0 11139   + caddc 11142  ℕ₀cn0 12503  ;cdc 12708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-ltxr 11284  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-dec 12709

This theorem is referenced by:  4t4e16  12807  6t3e18  12813  7t4e28  12819  7t7e49  12822  2exp11  17059  2exp16  17060  17prm  17086  23prm  17088  prmlem2  17089  37prm  17090  83prm  17092  139prm  17093  163prm  17094  317prm  17095  631prm  17096  1259lem1  17100  1259lem2  17101  1259lem3  17102  1259lem4  17103  1259lem5  17104  1259prm  17105  2503lem1  17106  2503lem2  17107  2503lem3  17108  4001lem1  17110  4001lem2  17111  4001lem4  17113  4001prm  17114  log2ublem3  26893  log2ub  26894  birthday  26899  ex-fac  30274  hgt750lem2  34284  60lcm7e420  41481  420lcm8e840  41482  3exp7  41524  3lexlogpow5ineq1  41525  3lexlogpow5ineq5  41531  aks4d1p1p5  41546  decaddcom  41858  sqn5i  41859  sqdeccom12  41863  sq3deccom12  41864  235t711  41867  ex-decpmul  41868  resqrtvalex  43075  imsqrtvalex  43076  fmtno5lem1  46893  fmtno5lem2  46894  fmtno5lem4  46896  257prm  46901  fmtno4prmfac  46912  fmtno4nprmfac193  46914  fmtno5faclem1  46919  fmtno5faclem2  46920  fmtno5faclem3  46921  139prmALT  46936  127prm  46939  11t31e341  47072  ackval3012  47765  ackval41a  47767