Theorem cos1bnd 16157

Description: Bounds on the cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos1bnd	⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))

Proof of Theorem cos1bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 14184	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
2	1	oveq1i 7424	. . . . . . 7 ⊢ ((1↑2) / 3) = (1 / 3)
3	2	oveq2i 7425	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 · (1 / 3))
4		2cn 12311	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		3cn 12317	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		3ne0 12342	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
7	4, 5, 6	divreci 11983	. . . . . 6 ⊢ (2 / 3) = (2 · (1 / 3))
8	3, 7	eqtr4i 2758	. . . . 5 ⊢ (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
9	8	oveq2i 7425	. . . 4 ⊢ (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 − (2 / 3))
10		ax-1cn 11190	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	4, 5, 6	divcli 11980	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
12	5, 6	reccli 11968	. . . . 5 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
13		df-3 12300	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
14	13	oveq1i 7424	. . . . . 6 ⊢ (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
15	5, 6	dividi 11971	. . . . . 6 ⊢ (3 / 3) = 1
16	4, 10, 5, 6	divdiri 11995	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
17	14, 15, 16	3eqtr3ri 2764	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
18	10, 11, 12, 17	subaddrii 11573	. . . 4 ⊢ (1 − (2 / 3)) = (1 / 3)
19	9, 18	eqtri 2755	. . 3 ⊢ (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 / 3)
20		1re 11238	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		0lt1 11760	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
22		1le1 11866	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
23		0xr 11285	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
24		elioc2 13413	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1)))
25	23, 20, 24	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1))
26		cos01bnd 16156	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
27	25, 26	sylbir 234	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
28	20, 21, 22, 27	mp3an 1458	. . . 4 ⊢ ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3)))
29	28	simpli 483	. . 3 ⊢ (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1)
30	19, 29	eqbrtrri 5165	. 2 ⊢ (1 / 3) < (cos‘1)
31	28	simpri 485	. . 3 ⊢ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))
32	2	oveq2i 7425	. . . 4 ⊢ (1 − ((1↑2) / 3)) = (1 − (1 / 3))
33	10, 12, 11	subadd2i 11572	. . . . 5 ⊢ ((1 − (1 / 3)) = (2 / 3) ↔ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1)
34	17, 33	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
35	32, 34	eqtri 2755	. . 3 ⊢ (1 − ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
36	31, 35	breqtri 5167	. 2 ⊢ (cos‘1) < (2 / 3)
37	30, 36	pm3.2i 470	1 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℝcr 11131  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   · cmul 11137  ℝ^*cxr 11271   < clt 11272   ≤ cle 11273   − cmin 11468   / cdiv 11895  2c2 12291  3c3 12292  (,]cioc 13351  ↑cexp 14052  cosccos 16034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-ioc 13355  df-ico 13356  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-seq 13993  df-exp 14053  df-fac 14259  df-hash 14316  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15441  df-clim 15458  df-rlim 15459  df-sum 15659  df-ef 16037  df-cos 16040

This theorem is referenced by:  cos2bnd  16158