Theorem xrgepnfd 44707

Description: An extended real greater than or equal to +∞ is +∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrgepnfd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrgepnfd.2	⊢ (𝜑 → +∞ ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xrgepnfd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = +∞)

Proof of Theorem xrgepnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrgepnfd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		pnfxr 11292	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
4		pnfge 13136	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ +∞)
6		xrgepnfd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ≤ 𝐴)
7	1, 3, 5, 6	xrletrid 13160	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  +∞cpnf 11269  ℝ^*cxr 11271   ≤ cle 11273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278

This theorem is referenced by:  fge0iccico  45752  sge0le  45789  sge0iunmpt  45800  sge0xadd  45817  voliunsge0lem  45854  hoicvrrex  45938