Theorem tsmsadd 24044

Description: The sum of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
tsmsadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmsadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
tsmsadd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmsadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsadd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
tsmsadd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmsadd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
tsmsadd	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)))

Proof of Theorem tsmsadd

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsadd.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tsmsadd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
3		tsmsadd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
4		tmdtps 23973	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
6		tsmsadd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		tsmsadd.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
8	1, 2, 5, 6, 7	tsmscl 24032	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
9		tsmsadd.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
10	8, 9	sseldd 3979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		tsmsadd.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
12	1, 2, 5, 6, 11	tsmscl 24032	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) ⊆ 𝐵)
13		tsmsadd.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
14	12, 13	sseldd 3979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15		tsmsadd.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (+𝑓‘𝐺) = (+𝑓‘𝐺)
17	1, 15, 16	plusfval 18600	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+𝑓‘𝐺)𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
18	10, 14, 17	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+𝑓‘𝐺)𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
19		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
20	1, 19	istps 22829	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
21	5, 20	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵))
22		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
23		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})
24		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})
25	22, 23, 24, 6	tsmsfbas 24025	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
26		fgcl 23775	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
27	25, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
28	1, 22, 2, 6, 7	tsmslem1 24026	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵)
29	1, 22, 2, 6, 11	tsmslem1 24026	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵)
30	1, 19, 22, 24, 2, 6, 7	tsmsval 24028	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))))
31	9, 30	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)))))
32	1, 19, 22, 24, 2, 6, 11	tsmsval 24028	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)))))
33	13, 32	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)))))
34	19, 16	tmdcn 23980	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (+𝑓‘𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
35	3, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
36	10, 14	opelxpd 5711	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
37		txtopon 23488	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘𝐵)) → ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
38	21, 21, 37	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
39		toponuni 22809	. . . . . . 7 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 × 𝐵) = ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) = ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
41	36, 40	eleqtrd 2830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)))
42		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) = ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺))
43	42	cncnpi 23175	. . . . 5 ⊢ (((+𝑓‘𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ∪ ((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺))) → (+𝑓‘𝐺) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) CnP (TopOpen‘𝐺))‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
44	35, 41, 43	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+𝑓‘𝐺) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) CnP (TopOpen‘𝐺))‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
45	21, 21, 27, 28, 29, 31, 33, 44	flfcnp2 23904	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+𝑓‘𝐺)𝑌) ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))))
46	18, 45	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))))
47		cmnmnd 19745	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
48	2, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
49	1, 15	mndcl 18695	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
50	49	3expb 1118	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
51	48, 50	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
52		inidm 4214	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
53	51, 7, 11, 6, 6, 52	off 7697	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐻):𝐴⟶𝐵)
54	1, 19, 22, 24, 2, 6, 53	tsmsval 24028	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧)))))
55		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
56	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
57		elinel2 4192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
58	57	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
59		elfpw 9372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ Fin))
60	59	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
61		fssres 6757	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
62	7, 60, 61	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
63		fssres 6757	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (𝐻 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
64	11, 60, 63	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 ↾ 𝑧):𝑧⟶𝐵)
65		fvexd 6906	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g‘𝐺) ∈ V)
66	62, 58, 65	fdmfifsupp 9392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑧) finSupp (0g‘𝐺))
67	64, 58, 65	fdmfifsupp 9392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 ↾ 𝑧) finSupp (0g‘𝐺))
68	1, 55, 15, 56, 58, 62, 64, 66, 67	gsumadd 19871	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘f + (𝐻 ↾ 𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))
69	7, 6	fexd 7233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
70	11, 6	fexd 7233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
71		offres 7981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘f + (𝐻 ↾ 𝑧)))
72	69, 70, 71	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘f + (𝐻 ↾ 𝑧)))
73	72	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧) = ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘f + (𝐻 ↾ 𝑧)))
74	73	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧)) = (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ 𝑧) ∘f + (𝐻 ↾ 𝑧))))
75	1, 15, 16	plusfval 18600	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)) ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))
76	28, 29, 75	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧)) + (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))
77	68, 74, 76	3eqtr4d 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧)) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))
78	77	mpteq2dva 5242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧)))))
79	78	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg ((𝐹 ∘f + 𝐻) ↾ 𝑧)))) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))))
80	54, 79	eqtrd 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)) = (((TopOpen‘𝐺) fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦 ⊆ 𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑧))(+𝑓‘𝐺)(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑧))))))
81	46, 80	eleqtrrd 2831	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f + 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427  Vcvv 3469   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  𝒫 cpw 4598  ⟨cop 4630  ∪ cuni 4903   ↦ cmpt 5225   × cxp 5670  ran crn 5673   ↾ cres 5674  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘_f cof 7677  Fincfn 8957  Basecbs 17173  +_gcplusg 17226  TopOpenctopn 17396  0_gc0g 17414   Σ_g cgsu 17415  +_𝑓cplusf 18590  Mndcmnd 18687  CMndccmn 19728  fBascfbas 21260  filGencfg 21261  TopOnctopon 22805  TopSpctps 22827   Cn ccn 23121   CnP ccnp 23122   ×_t ctx 23457  Filcfil 23742   fLimf cflf 23832  TopMndctmd 23967   tsums ctsu 24023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-hash 14316  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-topgen 17418  df-plusf 18592  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-fbas 21269  df-fg 21270  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-ntr 22917  df-nei 22995  df-cn 23124  df-cnp 23125  df-tx 23459  df-fil 23743  df-fm 23835  df-flim 23836  df-flf 23837  df-tmd 23969  df-tsms 24024

This theorem is referenced by:  tsmssub  24046  tsmssplit  24049  esumadd  33666  esumaddf  33670