MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringidval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringidval 20116
Description: The value of the unity element of a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringidval.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
ringidval.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringidval 1 = (0g𝐺)

Proof of Theorem ringidval
StepHypRef Expression
1 df-ur 20115 . . . . 5 1r = (0g ∘ mulGrp)
21fveq1i 6892 . . . 4 (1r𝑅) = ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅)
3 fnmgp 20069 . . . . 5 mulGrp Fn V
4 fvco2 6989 . . . . 5 ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
53, 4mpan 689 . . . 4 (𝑅 ∈ V → ((0g ∘ mulGrp)‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
62, 5eqtrid 2779 . . 3 (𝑅 ∈ V → (1r𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
7 0g0 18617 . . . 4 ∅ = (0g‘∅)
8 fvprc 6883 . . . 4 𝑅 ∈ V → (1r𝑅) = ∅)
9 fvprc 6883 . . . . 5 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
109fveq2d 6895 . . . 4 𝑅 ∈ V → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘∅))
117, 8, 103eqtr4a 2793 . . 3 𝑅 ∈ V → (1r𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
126, 11pm2.61i 182 . 2 (1r𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13 ringidval.u . 2 1 = (1r𝑅)
14 ringidval.g . . 3 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
1514fveq2i 6894 . 2 (0g𝐺) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
1612, 13, 153eqtr4i 2765 1 1 = (0g𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3469  c0 4318  ccom 5676   Fn wfn 6537  cfv 6542  0gc0g 17414  mulGrpcmgp 20067  1rcur 20114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-1cn 11190  ax-addcl 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-nn 12237  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-0g 17416  df-mgp 20068  df-ur 20115
This theorem is referenced by:  dfur2  20117  srgidcl  20132  srgidmlem  20134  issrgid  20137  srgpcomp  20151  srg1expzeq1  20158  srgbinom  20164  ringidcl  20195  ringidmlem  20197  isringid  20200  prds1  20252  pwspjmhmmgpd  20257  xpsring1d  20262  oppr1  20282  unitsubm  20318  rngidpropd  20347  dfrhm2  20406  isrhm2d  20419  rhm1  20421  c0rhm  20464  c0rnghm  20465  subrgsubm  20517  issubrg3  20532  isdomn3  21241  cnfldexp  21325  expmhm  21362  nn0srg  21363  rge0srg  21364  fermltlchr  21452  freshmansdream  21501  assamulgscmlem1  21825  mplcoe3  21969  mplcoe5  21971  mplbas2  21973  evlslem1  22021  evlsgsummul  22031  mhppwdeg  22067  ply1scltm  22193  lply1binomsc  22223  evls1gsummul  22237  evl1gsummul  22272  madetsumid  22356  mat1mhm  22379  scmatmhm  22429  mdet0pr  22487  mdetunilem7  22513  smadiadetlem4  22564  mat2pmatmhm  22628  pm2mpmhm  22715  chfacfscmulgsum  22755  chfacfpmmulgsum  22759  cpmadugsumlemF  22771  efsubm  26478  amgmlem  26915  amgm  26916  wilthlem2  26994  wilthlem3  26995  dchrelbas3  27164  dchrzrh1  27170  dchrmulcl  27175  dchrn0  27176  dchrinvcl  27179  dchrfi  27181  dchrabs  27186  sumdchr2  27196  rpvmasum2  27438  psgnid  32812  cnmsgn0g  32861  altgnsg  32864  urpropd  32933  frobrhm  32935  rrgsubm  32947  erlbr2d  32972  erler  32973  rloccring  32978  rloc0g  32979  rloc1r  32980  rlocf1  32981  zringfrac  32990  znfermltl  33072  evls1fldgencl  33344  iistmd  33493  aks6d1c1p6  41570  evl1gprodd  41573  idomnnzpownz  41587  idomnnzgmulnz  41588  aks6d1c5lem2  41593  deg1gprod  41596  deg1pow  41597  pwsgprod  41746  evlsvvvallem  41766  evlsvvval  41768  evlselv  41792  mhphf  41802  mon1psubm  42599  deg1mhm  42600  amgmwlem  48207  amgmlemALT  48208
  Copyright terms: Public domain W3C validator