Theorem resubcl 11548

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11222	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 11222	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11532	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5		renegcl 11547	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
6		readdcl 11215	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
8	4, 7	eqeltrrd 2830	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414  ℂcc 11130  ℝcr 11131   + caddc 11135   − cmin 11468  -cneg 11469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-ltxr 11277  df-sub 11470  df-neg 11471

This theorem is referenced by:  peano2rem  11551  resubcld  11666  ltaddsub  11712  leaddsub  11714  posdif  11731  lt2sub  11736  le2sub  11737  mulsuble0b  12110  cju  12232  elz2  12600  rpnnen1lem5  12989  difrp  13038  qbtwnre  13204  iooshf  13429  iccshftl  13491  lincmb01cmp  13498  uzsubsubfz  13549  difelfzle  13640  fzonmapblen  13704  eluzgtdifelfzo  13720  subfzo0  13780  fracle1  13794  fldiv  13851  modcl  13864  2submod  13923  modsubdir  13931  modfzo0difsn  13934  expubnd  14167  absdiflt  15290  absdifle  15291  elicc4abs  15292  abssubge0  15300  abs2difabs  15307  rddif  15313  absrdbnd  15314  climsup  15642  flo1  15826  supcvg  15828  refallfaccl  15988  resin4p  16108  recos4p  16109  cos01bnd  16156  cos01gt0  16161  pythagtriplem12  16788  pythagtriplem14  16790  pythagtriplem16  16792  fldivp1  16859  prmreclem6  16883  cshwshashlem2  17059  bl2ioo  24701  ioo2bl  24702  ioo2blex  24703  blssioo  24704  blcvx  24707  reconnlem2  24736  opnreen  24740  iirev  24843  iihalf2  24848  iccpnfhmeo  24863  iccvolcl  25489  ioovolcl  25492  ismbf3d  25576  itgrecl  25720  cmvth  25916  cmvthOLD  25917  dvle  25933  dvcvx  25946  dvfsumge  25949  aalioulem3  26262  aaliou  26266  aaliou3lem9  26278  abelthlem2  26362  abelthlem7  26368  abelth2  26372  sincosq1sgn  26426  sincosq2sgn  26427  sincosq3sgn  26428  sincosq4sgn  26429  tangtx  26433  sinq12gt0  26435  cosq14gt0  26438  cosq14ge0  26439  cosne0  26456  sinord  26461  resinf1o  26463  tanregt0  26466  efif1olem2  26470  relogdiv  26520  logneg2  26542  logdivlti  26547  logcnlem4  26572  logccv  26590  cxpaddlelem  26679  loglesqrt  26686  ang180lem2  26735  acoscos  26818  acosbnd  26825  acosrecl  26828  atanlogaddlem  26838  atans2  26856  leibpi  26867  divsqrtsumo1  26909  cvxcl  26910  scvxcvx  26911  jensenlem2  26913  amgmlem  26915  harmonicbnd4  26936  zetacvg  26940  ftalem5  27002  basellem9  27014  mumullem2  27105  ppiub  27130  chtub  27138  bposlem1  27210  bposlem6  27215  bposlem9  27218  gausslemma2dlem1a  27291  chtppilim  27401  chto1ub  27402  rplogsumlem2  27411  rpvmasumlem  27413  dchrisum0flblem1  27434  dchrisum0re  27439  log2sumbnd  27470  selberglem2  27472  pntrmax  27490  pntpbnd2  27513  pntlem3  27535  brbtwn2  28709  colinearalglem4  28713  eleesub  28715  eleesubd  28716  axsegconlem2  28722  ax5seglem2  28733  ax5seglem3  28735  axpaschlem  28744  axpasch  28745  axcontlem2  28769  crctcshwlkn0lem3  29616  crctcshwlkn0lem7  29620  eucrctshift  30046  xlt2addrd  32522  signshf  34214  resconn  34850  sinccvglem  35270  fz0n  35319  dnibndlem4  35950  dnibndlem6  35952  dnibndlem7  35953  dnibndlem9  35955  dnibndlem10  35956  knoppndvlem15  35995  sin2h  37077  tan2h  37079  poimir  37120  mblfinlem3  37126  mblfinlem4  37127  itg2addnclem  37138  itg2addnclem3  37140  ftc1anclem5  37164  ftc1anclem6  37165  ftc1anclem7  37166  dvasin  37171  geomcau  37226  bfp  37291  ismrer1  37305  iccbnd  37307  jm2.17a  42375  acongeq  42398  jm3.1lem2  42433  areaquad  42638  lptre2pt  45022  dvnmul  45325  stoweidlem59  45441  fourierdlem42  45531  hoidmvlelem2  45978  smfmullem1  46173  ltsubsubaddltsub  46675  zm1nn  46676  nn0resubcl  46682  subsubelfzo0  46700  bgoldbtbndlem2  47140  ply1mulgsumlem2  47449  ltsubaddb  47576  ltsubsubb  47577  ltsubadd2b  47578  line2  47819