Theorem repswpfx 14761

Description: A prefix of a repeated symbol word is a repeated symbol word. (Contributed by AV, 11-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
repswpfx	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿))

Proof of Theorem repswpfx

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repsw 14751	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
2	1	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
3		repswlen 14752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
4	3	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0...𝑁))
5	4	eleq2d 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↔ 𝐿 ∈ (0...𝑁)))
6	5	biimp3ar 1467	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))
7		pfxlen 14659	. . . 4 ⊢ (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)))) → (♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = 𝐿)
8	2, 6, 7	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = 𝐿)
9		elfznn0 13620	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...𝑁) → 𝐿 ∈ ℕ0)
10		repswlen 14752	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) = 𝐿)
11	9, 10	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) = 𝐿)
12	11	3adant2 1129	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) = 𝐿)
13	8, 12	eqtr4d 2770	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)))
14		simpl1 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑆 ∈ 𝑉)
15		simpl2 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		elfzuz3 13524	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
17	16	3ad2ant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿))
18	8	fveq2d 6895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (ℤ≥‘(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) = (ℤ≥‘𝐿))
19	17, 18	eleqtrrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))))
20		fzoss2 13686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) → (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) ⊆ (0..^𝑁))
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) ⊆ (0..^𝑁))
22	21	sselda 3978	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
23		repswsymb 14750	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖) = 𝑆)
24	14, 15, 22, 23	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖) = 𝑆)
25	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉)
26	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))))
27	8	oveq2d 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) = (0..^𝐿))
28	27	eleq2d 2814	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝐿)))
29	28	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝐿))
30		pfxfv 14658	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝐿)) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖))
31	25, 26, 29, 30	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝑁)‘𝑖))
32	9	3ad2ant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
33	32	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
34		repswsymb 14750	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖) = 𝑆)
35	14, 33, 29, 34	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖) = 𝑆)
36	24, 31, 35	3eqtr4d 2777	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))
37	36	ralrimiva 3141	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))(((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))
38		pfxcl 14653	. . . 4 ⊢ ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ Word 𝑉 → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
39	2, 38	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉)
40		repsw 14751	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉)
41	9, 40	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉)
42		eqwrd 14533	. . 3 ⊢ ((((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑆 repeatS 𝐿) ∈ Word 𝑉) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿) ↔ ((♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))(((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))))
43	39, 41, 42	3imp3i2an 1343	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿) ↔ ((♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)) = (♯‘(𝑆 repeatS 𝐿)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)))(((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿)‘𝑖) = ((𝑆 repeatS 𝐿)‘𝑖))))
44	13, 37, 43	mpbir2and 712	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁) prefix 𝐿) = (𝑆 repeatS 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056   ⊆ wss 3944  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  ℕ₀cn0 12496  ℤ_≥cuz 12846  ...cfz 13510  ..^cfzo 13653  ♯chash 14315  Word cword 14490   prefix cpfx 14646   repeatS creps 14744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-hash 14316  df-word 14491  df-substr 14617  df-pfx 14647  df-reps 14745

This theorem is referenced by:  repswcshw  14788