Theorem pf1mulcl 22266

Description: The product of multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1rcl.q	⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
pf1mulcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pf1mulcl	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem pf1mulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2727	. . 3 ⊢ (𝑅 ↑s (Base‘𝑅)) = (𝑅 ↑s (Base‘𝑅))
2		eqid 2727	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) = (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))
3		pf1rcl.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
4	3	pf1rcl 22261	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝑅 ∈ CRing)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝑅 ∈ CRing)
6		fvexd 6906	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (Base‘𝑅) ∈ V)
7		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	3, 7	pf1f 22262	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑄 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
10		fvex 6904	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
11	1, 7, 2	pwselbasb 17463	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → (𝐹 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
12	5, 10, 11	sylancl 585	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
13	9, 12	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐹 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
14	3, 7	pf1f 22262	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑄 → 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
16	1, 7, 2	pwselbasb 17463	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → (𝐺 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
17	5, 10, 16	sylancl 585	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐺 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ↔ 𝐺:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅)))
18	15, 17	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝐺 ∈ (Base‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
19		pf1mulcl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20		eqid 2727	. . 3 ⊢ (.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) = (.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))
21	1, 2, 5, 6, 13, 18, 19, 20	pwsmulrval 17466	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))𝐺) = (𝐹 ∘f · 𝐺))
22	7, 3	pf1subrg 22260	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
23	5, 22	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))))
24	20	subrgmcl 20516	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) ∧ 𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))𝐺) ∈ 𝑄)
25	24	3expib 1120	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅))) → ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))𝐺) ∈ 𝑄))
26	23, 25	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹(.r‘(𝑅 ↑s (Base‘𝑅)))𝐺) ∈ 𝑄)
27	21, 26	eqeltrrd 2829	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑄 ∧ 𝐺 ∈ 𝑄) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469  ran crn 5673  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘_f cof 7677  Basecbs 17173  ._rcmulr 17227   ↑_s cpws 17421  CRingccrg 20167  SubRingcsubrg 20499  eval₁ce1 22226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-sup 9459  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-hash 14316  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-prds 17422  df-pws 17424  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mhm 18733  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-mulg 19017  df-subg 19071  df-ghm 19161  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-srg 20120  df-ring 20168  df-cring 20169  df-rhm 20404  df-subrng 20476  df-subrg 20501  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lsp 20849  df-assa 21780  df-asp 21781  df-ascl 21782  df-psr 21835  df-mvr 21836  df-mpl 21837  df-opsr 21839  df-evls 22011  df-evl 22012  df-psr1 22092  df-ply1 22094  df-evl1 22228

This theorem is referenced by: (None)