Theorem opprbas 20273

Description: Base set of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 6-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprbas	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Proof of Theorem opprbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		opprbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
3		baseid 17176	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
4		basendxnmulrndx 17269	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
5	2, 3, 4	opprlem 20271	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
6	1, 5	eqtri 2755	1 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1534  ‘cfv 6542  Basecbs 17173  opp_rcoppr 20265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-mulr 17240  df-oppr 20266

This theorem is referenced by:  opprrng  20277  opprrngb  20278  opprring  20279  opprringb  20280  oppr0  20281  oppr1  20282  opprneg  20283  opprsubg  20284  mulgass3  20285  1unit  20306  opprunit  20309  crngunit  20310  unitmulcl  20312  unitgrp  20315  unitnegcl  20329  unitpropd  20349  opprirred  20354  rhmopp  20441  elrhmunit  20442  opprnzr  20452  opprsubrng  20489  subrguss  20519  subrgunit  20522  opprsubrg  20525  isdrng2  20631  opprdrng  20649  isdrngrd  20651  isdrngrdOLD  20653  issrngd  20734  rngridlmcl  21106  isridlrng  21108  isridl  21139  ridl1  21146  2idlcpblrng  21158  crngridl  21165  opprdomn  21244  fidomndrng  21254  psropprmul  22149  invrvald  22571  ply1divalg2  26067  isdrng4  32956  crngmxidl  33172  opprabs  33183  oppreqg  33184  opprnsg  33185  opprlidlabs  33186  opprmxidlabs  33188  opprqusbas  33189  opprqusplusg  33190  opprqus0g  33191  opprqusmulr  33192  opprqus1r  33193  opprqusdrng  33194  qsdrngi  33196  qsdrng  33198  ldualsbase  38594  lduallmodlem  38613  lcdsbase  41062