Theorem neglimc 45007

Description: Limit of the negative function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
neglimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
neglimc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)
neglimc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
neglimc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
neglimc	⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem neglimc

Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 25797	. . . 4 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐷) ⊆ ℂ
2		neglimc.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
3	1, 2	sselid 3976	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	3	negcld 11582	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℂ)
5		neglimc.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		neglimc.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	5, 6	fmptd 7118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
8	6, 5, 2	limcmptdm 44995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
9		limcrcl 25796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
10	2, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
11	10	simp3d 1142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
12	7, 8, 11	ellimc3 25801	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦))))
13	2, 12	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦)))
14	13	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦))
15	14	r19.21bi 3243	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦))
16		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝜑)
17	16	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → 𝜑)
18		simp1r 1196	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → 𝑣 ∈ 𝐴)
19		simp3 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤))
20		simp2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦))
21	19, 20	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦)
22		nfv 1910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)
23		neglimc.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)
24		nfmpt1 5250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)
25	23, 24	nfcxfr 2896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥𝐺
26		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥𝑣
27	25, 26	nffv 6901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺‘𝑣)
28		nfmpt1 5250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
29	6, 28	nfcxfr 2896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
30	29, 26	nffv 6901	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑣)
31	30	nfneg 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥-(𝐹‘𝑣)
32	27, 31	nfeq 2911	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺‘𝑣) = -(𝐹‘𝑣)
33	22, 32	nfim 1892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑣) = -(𝐹‘𝑣))
34		eleq1w 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑣 ∈ 𝐴))
35	34	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)))
36		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑣))
37		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑣))
38	37	negeqd 11478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → -(𝐹‘𝑥) = -(𝐹‘𝑣))
39	36, 38	eqeq12d 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝐺‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥) ↔ (𝐺‘𝑣) = -(𝐹‘𝑣)))
40	35, 39	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑣) = -(𝐹‘𝑣))))
41		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
42	5	negcld 11582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
43	23	fvmpt2 7010	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑥) = -𝐵)
44	41, 42, 43	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = -𝐵)
45	6	fvmpt2 7010	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
46	41, 5, 45	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
47	46	negeqd 11478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(𝐹‘𝑥) = -𝐵)
48	44, 47	eqtr4d 2770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
49	33, 40, 48	chvarfv 2226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑣) = -(𝐹‘𝑣))
50	49	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑣) − -𝐶) = (-(𝐹‘𝑣) − -𝐶))
51	7	ffvelcdmda 7088	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑣) ∈ ℂ)
52	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
53	51, 52	negsubdi3d 44647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → -((𝐹‘𝑣) − 𝐶) = (-(𝐹‘𝑣) − -𝐶))
54	50, 53	eqtr4d 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑣) − -𝐶) = -((𝐹‘𝑣) − 𝐶))
55	54	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) = (abs‘-((𝐹‘𝑣) − 𝐶)))
56	51, 52	subcld 11595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑣) − 𝐶) ∈ ℂ)
57	56	absnegd 15422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘-((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) = (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)))
58	55, 57	eqtrd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) = (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)))
59	58	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) = (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)))
60		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦)
61	59, 60	eqbrtrd 5164	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)
62	17, 18, 21, 61	syl21anc 837	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) ∧ (𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤)) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)
63	62	3exp 1117	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)))
64	63	ralimdva 3162	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)))
65	64	reximdva 3163	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦)))
66	15, 65	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦))
67	66	ralrimiva 3141	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦))
68	42, 23	fmptd 7118	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
69	68, 8, 11	ellimc3 25801	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷) ↔ (-𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ((𝑣 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺‘𝑣) − -𝐶)) < 𝑦))))
70	4, 67, 69	mpbir2and 712	1 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ (𝐺 limℂ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∀wral 3056  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11130   < clt 11272   − cmin 11468  -cneg 11469  ℝ⁺crp 13000  abscabs 15207   lim_ℂ climc 25784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-fz 13511  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-rest 17397  df-topn 17398  df-topgen 17418  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-cnfld 21273  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-cnp 23125  df-xms 24219  df-ms 24220  df-limc 25788

This theorem is referenced by:  sublimc  45012  reclimc  45013