Theorem mre1cl 17574

Description: In any Moore collection the base set is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mre1cl	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mre1cl

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismre 17570	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))
2	1	simp2bi 1144	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∀wral 3058   ⊆ wss 3947  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603  ∩ cint 4949  ‘cfv 6548  Moorecmre 17562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-mre 17566

This theorem is referenced by:  mrerintcl  17577  mreriincl  17578  mreuni  17580  mremre  17584  mrcflem  17586  mrcval  17590  mrccl  17591  mrcun  17602  mrelatglb0  18553  mreclatBAD  18555  mretopd  23009  mreclat  48008