Theorem lply1binom 22229

Description: The binomial theorem for linear polynomials (monic polynomials of degree 1) over commutative rings: (𝑋 + 𝐴)↑𝑁 is the sum from 𝑘 = 0 to 𝑁 of (𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝑋↑𝑘)). (Contributed by AV, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cply1binom.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cply1binom.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cply1binom.a	⊢ + = (+g‘𝑃)
cply1binom.m	⊢ × = (.r‘𝑃)
cply1binom.t	⊢ · = (.g‘𝑃)
cply1binom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
cply1binom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
cply1binom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
lply1binom	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋   × ,𝑘   · ,𝑘   ↑ ,𝑘   + ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem lply1binom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20185	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		cply1binom.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 22166	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4		ringcmn 20218	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
5	1, 3, 4	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CMnd)
6	5	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
7		cply1binom.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
8		cply1binom.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9	7, 2, 8	vr1cl 22136	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	1, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	10	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		simp3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
13		cply1binom.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑃)
14	8, 13	cmncom 19753	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ CMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑋))
15	6, 11, 12, 14	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝐴) = (𝐴 + 𝑋))
16	15	oveq2d 7436	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝑋)))
17	2	ply1crng 22117	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
18	17	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CRing)
19		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	8	eleq2i 2821	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
21	20	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
22	21	3ad2ant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑃))
23	10, 8	eleqtrdi 2839	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
24	23	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
25		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
26		cply1binom.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑃)
27		cply1binom.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑃)
28		cply1binom.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
29		cply1binom.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
30	25, 26, 27, 13, 28, 29	crngbinom 20271	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝑋)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
31	18, 19, 22, 24, 30	syl22anc 838	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝑋)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))
32	16, 31	eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑁 ↑ (𝑋 + 𝐴)) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝑋))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  0cc0 11139   − cmin 11475  ℕ₀cn0 12503  ...cfz 13517  Ccbc 14294  Basecbs 17180  +_gcplusg 17233  ._rcmulr 17234   Σ_g cgsu 17422  ._gcmg 19023  CMndccmn 19735  mulGrpcmgp 20074  Ringcrg 20173  CRingccrg 20174  var₁cv1 22095  Poly₁cpl1 22096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-hom 17257  df-cco 17258  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-prds 17429  df-pws 17431  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-srg 20127  df-ring 20175  df-cring 20176  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-psr 21842  df-mvr 21843  df-mpl 21844  df-opsr 21846  df-psr1 22099  df-vr1 22100  df-ply1 22101

This theorem is referenced by:  lply1binomsc  22230