Theorem lgsdir2lem2 27252

Description: Lemma for lgsdir2 27256. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsdir2lem2.1	⊢ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝐾 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))
lgsdir2lem2.2	⊢ 𝑀 = (𝐾 + 1)
lgsdir2lem2.3	⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
lgsdir2lem2.4	⊢ 𝑁 ∈ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem2	⊢ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝑁 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))

Proof of Theorem lgsdir2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsdir2lem2.3	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑀 + 1)
2		lgsdir2lem2.2	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝐾 + 1)
3		lgsdir2lem2.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝐾 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))
4	3	simp1i 1137	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ ℤ
5		peano2z 12627	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐾 + 1) ∈ ℤ
7	2, 6	eqeltri 2825	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
8		peano2z 12627	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℤ
10	1, 9	eqeltri 2825	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℤ
11	3	simp2i 1138	. . . 4 ⊢ 2 ∥ (𝐾 + 1)
12		2z 12618	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
13		dvdsadd 16272	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 ∥ (2 + (𝐾 + 1))))
14	12, 6, 13	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 ∥ (2 + (𝐾 + 1)))
15	11, 14	mpbi 229	. . 3 ⊢ 2 ∥ (2 + (𝐾 + 1))
16		zcn 12587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
17	4, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 ∈ ℂ
18		ax-1cn 11190	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
19	17, 18	addcomi 11429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 + 1) = (1 + 𝐾)
20	2, 19	eqtri 2756	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (1 + 𝐾)
21	20	oveq1i 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 1) = ((1 + 𝐾) + 1)
22	1, 21	eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = ((1 + 𝐾) + 1)
23		df-2 12299	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
24	23	oveq1i 7424	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 𝐾) = ((1 + 1) + 𝐾)
25	18, 17, 18	add32i 11461	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 𝐾) + 1) = ((1 + 1) + 𝐾)
26	24, 25	eqtr4i 2759	. . . . . 6 ⊢ (2 + 𝐾) = ((1 + 𝐾) + 1)
27	22, 26	eqtr4i 2759	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (2 + 𝐾)
28	27	oveq1i 7424	. . . 4 ⊢ (𝑁 + 1) = ((2 + 𝐾) + 1)
29		2cn 12311	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
30	29, 17, 18	addassi 11248	. . . 4 ⊢ ((2 + 𝐾) + 1) = (2 + (𝐾 + 1))
31	28, 30	eqtri 2756	. . 3 ⊢ (𝑁 + 1) = (2 + (𝐾 + 1))
32	15, 31	breqtrri 5169	. 2 ⊢ 2 ∥ (𝑁 + 1)
33		elfzuz2 13532	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
34		fzm1 13607	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁)))
35	33, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁)))
36	35	ibi 267	. . 3 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁))
37		elfzuz2 13532	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
38		fzm1 13607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀)))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) ↔ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀)))
40	39	ibi 267	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑀) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀))
41		zcn 12587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
42	7, 41	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
43	42, 18, 1	mvrraddi 11501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 − 1) = 𝑀
44	43	oveq2i 7425	. . . . . 6 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) = (0...𝑀)
45	40, 44	eleq2s 2847	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀))
46	17, 18, 2	mvrraddi 11501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 − 1) = 𝐾
47	46	oveq2i 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(𝑀 − 1)) = (0...𝐾)
48	47	eleq2i 2821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ↔ (𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾))
49	3	simp3i 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝐾) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
50	48, 49	biimtrid 241	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
51		2nn 12309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
52		8nn 12331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ
53		4z 12620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
54		dvdsmul2 16249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (4 · 2))
55	53, 12, 54	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∥ (4 · 2)
56		4t2e8 12404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 · 2) = 8
57	55, 56	breqtri 5167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∥ 8
58		dvdsmod 16299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℕ ∧ 8 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 8) → (2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ 2 ∥ 𝐴))
59	57, 58	mpan2 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 8 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ 2 ∥ 𝐴))
60	51, 52, 59	mp3an12 1448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ 2 ∥ 𝐴))
61	60	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝐴 mod 8) ↔ ¬ 2 ∥ 𝐴))
62	61	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ¬ 2 ∥ (𝐴 mod 8))
63	11, 2	breqtrri 5169	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∥ 𝑀
64		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 mod 8) = 𝑀 → (𝐴 mod 8) = 𝑀)
65	63, 64	breqtrrid 5180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 mod 8) = 𝑀 → 2 ∥ (𝐴 mod 8))
66	62, 65	nsyl 140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ¬ (𝐴 mod 8) = 𝑀)
67	66	pm2.21d 121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) = 𝑀 → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
68	50, 67	jaod 858	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑀 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑀) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
69	45, 68	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
70		lgsdir2lem2.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ 𝑆
71		eleq1 2817	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 mod 8) = 𝑁 → ((𝐴 mod 8) ∈ 𝑆 ↔ 𝑁 ∈ 𝑆))
72	70, 71	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 mod 8) = 𝑁 → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)
73	72	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) = 𝑁 → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
74	69, 73	jaod 858	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (((𝐴 mod 8) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ (𝐴 mod 8) = 𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
75	36, 74	syl5 34	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆))
76	10, 32, 75	3pm3.2i 1337	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (𝑁 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...𝑁) → (𝐴 mod 8) ∈ 𝑆)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11130  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   · cmul 11137   − cmin 11468  ℕcn 12236  2c2 12291  4c4 12293  8c8 12297  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12846  ...cfz 13510   mod cmo 13860   ∥ cdvds 16224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fl 13783  df-mod 13861  df-dvds 16225

This theorem is referenced by:  lgsdir2lem3  27253