Theorem flcld 13787

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
flcld	⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		flcl 13784	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6542  ℝcr 11129  ℤcz 12580  ⌊cfl 13779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fl 13781

This theorem is referenced by:  flge  13794  flwordi  13801  flword2  13802  fladdz  13814  flhalf  13819  fldiv4p1lem1div2  13824  fldiv4lem1div2uz2  13825  fldiv4lem1div2  13826  ceicl  13830  quoremz  13844  intfracq  13848  fldiv  13849  moddiffl  13871  moddifz  13872  zmodcl  13880  modadd1  13897  modmuladd  13902  modmul1  13913  modsubdir  13929  iexpcyc  14194  absrdbnd  15312  limsupgre  15449  climrlim2  15515  dvdsmod  16297  divalgmod  16374  flodddiv4t2lthalf  16384  bitsp1  16397  bitsmod  16402  bitscmp  16404  bitsuz  16440  modgcd  16499  bezoutlem3  16508  isprm7  16670  hashdvds  16735  prmdiv  16745  odzdvds  16755  fldivp1  16857  pcfac  16859  pcbc  16860  prmreclem4  16879  vdwnnlem3  16957  mulgmodid  19059  odmod  19492  gexdvds  19530  zringlpirlem3  21377  zcld  24716  ovolunlem1a  25412  opnmbllem  25517  mbfi1fseqlem5  25636  dvfsumlem1  25947  dvfsumlem3  25950  sineq0  26445  efif1olem2  26464  ppiltx  27096  dvdsflf1o  27106  ppiub  27124  fsumvma2  27134  logfac2  27137  chpchtsum  27139  pcbcctr  27196  bposlem1  27204  bposlem3  27206  bposlem4  27207  bposlem5  27208  bposlem6  27209  gausslemma2dlem3  27288  gausslemma2dlem4  27289  gausslemma2dlem5  27291  lgseisenlem4  27298  lgseisen  27299  lgsquadlem1  27300  lgsquadlem2  27301  2lgslem1  27314  2lgslem2  27315  chebbnd1lem2  27390  chebbnd1lem3  27391  rplogsumlem2  27405  rpvmasumlem  27407  dchrisumlema  27408  dchrisumlem3  27411  dchrvmasumiflem1  27421  dchrisum0lem1  27436  rplogsum  27447  mulog2sumlem2  27455  pntrsumo1  27485  pntrlog2bndlem2  27498  pntrlog2bndlem4  27500  pntpbnd1  27506  pntpbnd2  27507  pntlemg  27518  pntlemq  27521  pntlemr  27522  pntlemf  27525  ostth2lem2  27554  dya2ub  33826  dya2icoseg  33833  dnibndlem13  35901  knoppndvlem19  35941  ltflcei  37016  opnmbllem0  37064  itg2addnclem2  37080  cntotbnd  37204  aks4d1p1p3  41477  aks4d1p1p2  41478  aks4d1p1p4  41479  aks4d1p3  41486  aks4d1p7d1  41490  aks4d1p7  41491  aks4d1p8  41495  aks4d1p9  41496  aks6d1c2lem4  41530  aks6d1c2  41533  irrapxlem1  42164  irrapxlem2  42165  irrapxlem3  42166  irrapxlem4  42167  pellexlem5  42175  pellfund14  42240  hashnzfz2  43681  hashnzfzclim  43682  sineq0ALT  44299  lefldiveq  44597  ltmod  44949  ioodvbdlimc1lem2  45243  ioodvbdlimc2lem  45245  dirkertrigeqlem3  45411  dirkertrigeq  45412  dirkercncflem4  45417  fourierdlem4  45422  fourierdlem7  45425  fourierdlem19  45437  fourierdlem26  45444  fourierdlem41  45459  fourierdlem47  45464  fourierdlem48  45465  fourierdlem49  45466  fourierdlem51  45468  fourierdlem63  45480  fourierdlem65  45482  fourierdlem71  45488  fourierdlem89  45506  fourierdlem90  45507  fourierdlem91  45508  lighneallem2  46869  fldivmod  47514  modn0mul  47516  fllogbd  47556  fldivexpfllog2  47561  logbpw2m1  47563  fllog2  47564  nnpw2blen  47576  blen1b  47584  nnolog2flm1  47586  blennngt2o2  47588  blennn0e2  47590  digvalnn0  47595  dig2nn1st  47601  dig2nn0  47607  dig2bits  47610  dignn0flhalflem2  47612