Theorem cj11 15136

Description: Complex conjugate is a one-to-one function. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Proof shortened by Eric Schmidt, 2-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
cj11	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) = (∗‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem cj11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6892	. . 3 ⊢ ((∗‘𝐴) = (∗‘𝐵) → (∗‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(∗‘𝐵)))
2		cjcj 15114	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐴)) = 𝐴)
3		cjcj 15114	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘(∗‘𝐵)) = 𝐵)
4	2, 3	eqeqan12d 2742	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(∗‘𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	1, 4	imbitrid 243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) = (∗‘𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
6		fveq2 6892	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∗‘𝐴) = (∗‘𝐵))
7	5, 6	impbid1 224	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) = (∗‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6543  ℂcc 11131  ∗ccj 15070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-2 12300  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075

This theorem is referenced by:  cjne0  15137  coecj  26207  dchrinv  27188  hial2eq2  30911  adjsym  31637  cnvadj  31696  adj2  31738