Theorem brco 5873

Description: Binary relation on a composition. (Contributed by NM, 21-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelco.1	⊢ 𝐴 ∈ V
opelco.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brco	⊢ (𝐴(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝐷𝑥 ∧ 𝑥𝐶𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Proof of Theorem brco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelco.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		opelco.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		brcog 5869	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝐷𝑥 ∧ 𝑥𝐶𝐵)))
4	1, 2, 3	mp2an 691	1 ⊢ (𝐴(𝐶 ∘ 𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴𝐷𝑥 ∧ 𝑥𝐶𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   class class class wbr 5148   ∘ ccom 5682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5149  df-opab 5211  df-co 5687

This theorem is referenced by:  opelco  5874  cnvco  5888  cotrg  6113  cotrgOLD  6114  resco  6254  imaco  6255  rnco  6256  coass  6269  dfpo2  6300  dffv2  6993  foeqcnvco  7309  f1eqcocnv  7310  f1eqcocnvOLD  7311  ttrclss  9744  rtrclreclem3  15040  imasleval  17523  ustuqtop4  24162  metustexhalf  24478  dftr6  35345  coep  35346  coepr  35347  brtxp  35476  pprodss4v  35480  brpprod  35481  sscoid  35509  elfuns  35511  brimg  35533  brapply  35534  brcup  35535  brcap  35536  brsuccf  35537  funpartlem  35538  brrestrict  35545  dfrecs2  35546  dfrdg4  35547  cnvssco  43036