Theorem bernneq3 14226

Description: A corollary of bernneq 14224. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bernneq3	⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (𝑃↑𝑁))

Proof of Theorem bernneq3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12512	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3		peano2re 11418	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
5		eluzelre 12864	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
6		reexpcl 14076	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℝ)
8	2	ltp1d 12175	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
9		uz2m1nn 12938	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
11	10	nnred 12258	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
12	11, 2	remulcld 11275	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑃 − 1) · 𝑁) ∈ ℝ)
13		peano2re 11418	. . . 4 ⊢ (((𝑃 − 1) · 𝑁) ∈ ℝ → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
15		1red 11246	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
16		nn0ge0 12528	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
18	10	nnge1d 12291	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝑃 − 1))
19	2, 11, 17, 18	lemulge12d 12183	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ ((𝑃 − 1) · 𝑁))
20	2, 12, 15, 19	leadd1dd 11859	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1))
21	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
22		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23		eluzge2nn0 12902	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ0)
24		nn0ge0 12528	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑃)
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝑃)
26	25	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑃)
27		bernneq2 14225	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝑃) → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ≤ (𝑃↑𝑁))
28	21, 22, 26, 27	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) · 𝑁) + 1) ≤ (𝑃↑𝑁))
29	4, 14, 7, 20, 28	letrd 11402	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑃↑𝑁))
30	2, 4, 7, 8, 29	ltletrd 11405	1 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (𝑃↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℝcr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   · cmul 11144   < clt 11279   ≤ cle 11280   − cmin 11475  ℕcn 12243  2c2 12298  ℕ₀cn0 12503  ℤ_≥cuz 12853  ↑cexp 14059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-seq 14000  df-exp 14060

This theorem is referenced by:  climcnds  15830  bitsfzo  16410  bitsinv1  16417  pcfaclem  16867  pcfac  16868  chpchtsum  27165  bposlem1  27230