Theorem 8even 47025

Description: 8 is an even number. (Contributed by AV, 23-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
8even	⊢ 8 ∈ Even

Proof of Theorem 8even

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12331	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12610	. 2 ⊢ 8 ∈ ℤ
3		4t2e8 12404	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
4	3	eqcomi 2736	. . . . 5 ⊢ 8 = (4 · 2)
5	4	oveq1i 7424	. . . 4 ⊢ (8 / 2) = ((4 · 2) / 2)
6		4cn 12321	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		2cn 12311	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		2ne0 12340	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
9	6, 7, 8	divcan4i 11985	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) / 2) = 4
10	5, 9	eqtri 2755	. . 3 ⊢ (8 / 2) = 4
11		4z 12620	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
12	10, 11	eqeltri 2824	. 2 ⊢ (8 / 2) ∈ ℤ
13		iseven 46940	. 2 ⊢ (8 ∈ Even ↔ (8 ∈ ℤ ∧ (8 / 2) ∈ ℤ))
14	2, 12, 13	mpbir2an 710	1 ⊢ 8 ∈ Even

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414   · cmul 11137   / cdiv 11895  2c2 12291  4c4 12293  8c8 12297  ℤcz 12582   Even ceven 46936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-z 12583  df-even 46938

This theorem is referenced by:  8gbe  47085  9gbo  47086  bgoldbtbndlem1  47117