Theorem xmetcl 24255

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xmetcl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem xmetcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24253	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		fovcdm 7595	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl3an1 1160	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   × cxp 5678  ⟶wf 6547  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  ℝ^*cxr 11283  ∞Metcxmet 21269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-map 8851  df-xr 11288  df-xmet 21277

This theorem is referenced by:  xmetge0  24268  xmetlecl  24270  xmetsym  24271  xmetrtri  24279  xmetrtri2  24280  xmetgt0  24282  prdsdsf  24291  prdsxmetlem  24292  imasdsf1olem  24297  imasf1oxmet  24299  xpsdsval  24305  xblpnf  24320  bldisj  24322  blgt0  24323  xblss2  24326  blhalf  24329  xbln0  24338  blin  24345  blss  24349  xmscl  24386  prdsbl  24418  blsscls2  24431  blcld  24432  blcls  24433  comet  24440  stdbdxmet  24442  stdbdmet  24443  stdbdbl  24444  tmsxpsval2  24466  metcnpi3  24473  txmetcnp  24474  xrsmopn  24746  metdcnlem  24770  metdsf  24782  metdsge  24783  metdstri  24785  metdsle  24786  metdscnlem  24789  metnrmlem1  24793  metnrmlem3  24795  lmnn  25209  iscfil2  25212  iscau3  25224  dvlip2  25946  heicant  37133