Theorem winalim 10710

Description: A weakly inaccessible cardinal is a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winalim	⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)

Proof of Theorem winalim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		winainf 10709	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝐴)
2		winacard 10707	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (card‘𝐴) = 𝐴)
3		cardlim 9987	. . . 4 ⊢ (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴))
4		sseq2 4004	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ ω ⊆ 𝐴))
5		limeq 6375	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (Lim (card‘𝐴) ↔ Lim 𝐴))
6	4, 5	bibi12d 345	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴)) ↔ (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴)))
7	3, 6	mpbii 232	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
8	2, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
9	1, 8	mpbid 231	1 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3944  Lim wlim 6364  ‘cfv 6542  ωcom 7864  cardccrd 9950  Inacc_wcwina 10697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7865  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-card 9954  df-cf 9956  df-wina 10699

This theorem is referenced by:  inar1  10790  inatsk  10793  tskuni  10798  grur1a  10834