Theorem toponmax 22846

Description: The base set of a topology is an open set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponmax	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem toponmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 22834	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
2		topontop 22833	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
3		eqid 2727	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	topopn 22826	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
6	1, 5	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  ∪ cuni 4910  ‘cfv 6551  Topctop 22813  TopOnctopon 22830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fv 6559  df-top 22814  df-topon 22831

This theorem is referenced by:  topgele  22850  eltpsg  22863  eltpsgOLD  22864  en2top  22906  resttopon  23083  ordtrest  23124  ordtrest2lem  23125  ordtrest2  23126  lmfval  23154  cnpfval  23156  iscn  23157  iscnp  23159  lmbrf  23182  cncls  23196  cnconst2  23205  cnrest2  23208  cndis  23213  cnindis  23214  cnpdis  23215  lmfss  23218  lmres  23222  lmff  23223  ist1-3  23271  connsuba  23342  unconn  23351  kgenval  23457  elkgen  23458  kgentopon  23460  pttoponconst  23519  tx1cn  23531  tx2cn  23532  ptcls  23538  xkoccn  23541  txlm  23570  cnmpt2res  23599  xkoinjcn  23609  qtoprest  23639  ordthmeolem  23723  pt1hmeo  23728  xkocnv  23736  flimclslem  23906  flfval  23912  flfnei  23913  isflf  23915  flfcnp  23926  txflf  23928  supnfcls  23942  fclscf  23947  fclscmp  23952  fcfval  23955  isfcf  23956  uffcfflf  23961  cnpfcf  23963  mopnm  24368  isxms2  24372  prdsxmslem2  24456  bcth2  25276  dvmptid  25907  dvmptc  25908  dvtaylp  26323  taylthlem1  26326  taylthlem2  26327  taylthlem2OLD  26328  pige3ALT  26472  dvcxp1  26692  cxpcn3  26701  ordtrestNEW  33527  ordtrest2NEWlem  33528  ordtrest2NEW  33529  topjoin  35854  areacirclem1  37186