Theorem signstfv 34131

Description: Value of the zero-skipping sign word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signstfv	⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (♯‘𝑓) = (♯‘𝐹))
2	1	oveq2d 7430	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (0..^(♯‘𝑓)) = (0..^(♯‘𝐹)))
3		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → 𝑓 = 𝐹)
4	3	fveq1d 6893	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (𝑓‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
5	4	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝐹 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑛)) → (sgn‘(𝑓‘𝑖)) = (sgn‘(𝐹‘𝑖)))
6	5	mpteq2dva 5242	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))
7	6	oveq2d 7430	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))))
8	2, 7	mpteq12dv 5233	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))))
9		signsv.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
10		ovex 7447	. . 3 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V
11	10	mptex 7229	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))) ∈ V
12	8, 9, 11	fvmpt 6999	1 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ifcif 4524  {cpr 4626  {ctp 4628  ⟨cop 4630   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  ℝcr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   − cmin 11466  -cneg 11467  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  ♯chash 14313  Word cword 14488  sgncsgn 15057  Σcsu 15656  ndxcnx 17153  Basecbs 17171  +_gcplusg 17224   Σ_g cgsu 17413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417

This theorem is referenced by:  signstfval  34132  signstf  34134  signstlen  34135  signstf0  34136