Theorem rpnnen1lem6 12988

Description: Lemma for rpnnen1 12989. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 15-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen1lem.1	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
rpnnen1lem.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
rpnnen1lem.n	⊢ ℕ ∈ V
rpnnen1lem.q	⊢ ℚ ∈ V

Assertion

Ref	Expression
rpnnen1lem6	⊢ ℝ ≼ (ℚ ↑m ℕ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem rpnnen1lem6

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7447	. 2 ⊢ (ℚ ↑m ℕ) ∈ V
2		rpnnen1lem.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
3		rpnnen1lem.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
4		rpnnen1lem.n	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
5		rpnnen1lem.q	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ V
6	2, 3, 4, 5	rpnnen1lem1 12984	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ∈ (ℚ ↑m ℕ))
7		rneq 5932	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → ran (𝐹‘𝑥) = ran (𝐹‘𝑦))
8	7	supeq1d 9461	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) = sup(ran (𝐹‘𝑦), ℝ, < ))
9	2, 3, 4, 5	rpnnen1lem5 12987	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) = 𝑥)
10		fveq2 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
11	10	rneqd 5934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ran (𝐹‘𝑥) = ran (𝐹‘𝑦))
12	11	supeq1d 9461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) = sup(ran (𝐹‘𝑦), ℝ, < ))
13		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
14	12, 13	eqeq12d 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) = 𝑥 ↔ sup(ran (𝐹‘𝑦), ℝ, < ) = 𝑦))
15	14, 9	vtoclga 3561	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → sup(ran (𝐹‘𝑦), ℝ, < ) = 𝑦)
16	9, 15	eqeqan12d 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (sup(ran (𝐹‘𝑥), ℝ, < ) = sup(ran (𝐹‘𝑦), ℝ, < ) ↔ 𝑥 = 𝑦))
17	8, 16	imbitrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
18	17, 10	impbid1 224	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
19	6, 18	dom2 9007	. 2 ⊢ ((ℚ ↑m ℕ) ∈ V → ℝ ≼ (ℚ ↑m ℕ))
20	1, 19	ax-mp 5	1 ⊢ ℝ ≼ (ℚ ↑m ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427  Vcvv 3469   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ran crn 5673  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8836   ≼ cdom 8953  supcsup 9455  ℝcr 11129   < clt 11270   / cdiv 11893  ℕcn 12234  ℤcz 12580  ℚcq 12954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-q 12955

This theorem is referenced by:  rpnnen1  12989